Đáp án:

\boxed{\frac{a\sqrt{6}}{6}}

Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt khi:

• Có 1 nghiệm từ 5^x = m \Rightarrow x = \log_5 m

• Và 1 nghiệm khác từ 2\log_3^2 x - \log_3 x - 1 = 0, tức x = \frac{1}{\sqrt{3}} hoặc x = 3

Để hai nghiệm phân biệt, cần:

5^{1/\sqrt{3}} < m < 125

\Rightarrow m \in \{3, 4, \dots, 124\}

Suy ra có 122 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

Kết luận: Đáp án là 122.

1. Tìm độ dài BM.
   Ta có tam giác BSD là tam giác đều cạnh 2a, M là trung điểm SD nên $$BM = \sqrt{BS^{2} - SM^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$$BM=BS2−SM2​=(2a)2−a2​=a3​
2. Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ABCD)

Hình chóp S.ABCD đều nên chân đường cao từ S xuống (ABCD) là tâm O của hình vuông ABCD. Khoảng cách từ B đến (ABCD) chính là độ dài cạnh của hình vuông, bằng 2a.

1. Tính góc giữa BM và (ABCD)
   Gọi $$\alpha$$α là góc giữa BM và (ABCD). Kẻ BH vuông góc với AM tại H. Ta có BH là khoảng cách từ B đến AM. Trong tam giác vuông ABM, ta có $$BH = \frac{AB \times BM}{AM}$$BH=AMAB×BM​. $$AB = 2a$$AB=2a, $$BM = a\sqrt{3}$$BM=a3​, $$AM = \sqrt{AS^{2} + SM^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} + a^{2}} = a\sqrt{5}$$AM=AS2+SM2​=(2a)2+a2​=a5​. Vậy $$BH = \frac{2a \times a\sqrt{3}}{a\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{15}}{5}$$BH=a5​2a×a3​​=52a15​​
2. Tính tan của góc giữa BM và (ABCD)
   Gọi $$\theta$$θ là góc giữa BM và (ABCD). Ta có $$\tan \theta = \frac{BH}{AB} = \frac{\frac{2a\sqrt{15}}{5}}{2a} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$tanθ=ABBH​=2a52a15​​​=515

PV=0,85 ≈ 2.179.373.000