Ta thiết lập hệ trục tọa độ Oxy theo cách đơn giản nhất: Đặt điểm C trùng với gốc tọa độ: C=(0;0) Đặt điểm B nằm trên trục Ox: B=(3k; 0) với k \neq 0 (để dễ tính tỷ lệ BG=2GC) Đặt tọa độ điểm A là $(x; y)$

Vì D nằm trên tia phân giác góc \widehat{BAC}, và DH \perp AB, DK \perp AC nên khoảng cách từ D đến hai cạnh AB và AC bằng nhau, hay DH = DK. Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn BC: D là trung điểm của BC nên BD = CD. Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau: Hai tam giác \triangle DHB và \triangle DKC đều là tam giác vuông tại H và K tương ứng, với: Cạnh huyền: BD = CD Cạnh góc vuông: DH = DK Theo định lý Huy cho tam giác vuông, hai tam giác này hoàn toàn bằng nhau. Suy ra kết quả cuối cùng: Từ \triangle DHB = \triangle DKC suy ra cạnh tương ứng BH = CK.

Ta có: BG = \frac{2}{3}BD CG = \frac{2}{3}CE Theo kết quả câu a), ta có BD = CE. Do đó, BG = CG. Vì BG = CG, suy ra \triangle GBC là tam giác cân tại G. c) Chứng minh GD + GE > \frac{1}{2}BC Ta tiếp tục sử dụng tính chất của trọng tâm:

Ta thiết lập hệ trục tọa độ Oxy theo cách đơn giản nhất: Đặt điểm C trùng với gốc tọa độ: C=(0;0) Đặt điểm B nằm trên trục Ox: B=(3k; 0) với k \neq 0 (để dễ tính tỷ lệ BG=2GC) Đặt tọa độ điểm A là $(x; y)$

\triangle ABC cân tại A, suy ra AB = AC. BD và CE là các đường trung tuyến. D là trung điểm của AC (AD = DC = \frac{1}{2}AC). E là trung điểm của AB (AE = EB = \frac{1}{2}AB). G là trọng tâm của \triangle ABC.

Suy ra, \triangle ABD = \triangle ACE (cạnh - góc - cạnh). Do đó, BD = CE (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tam giác GBC là tam giác cân Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE, nên G là trọng tâm của \triangle ABC. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh.

Ta có: BG = \frac{2}{3}BD CG = \frac{2}{3}CE Theo kết quả câu a), ta có BD = CE. Do đó, BG = CG. Vì BG = CG, suy ra \triangle GBC là tam giác cân tại G. c) Chứng minh GD + GE > \frac{1}{2}BC Ta tiếp tục sử dụng tính chất của trọng tâm:

GD = \frac{1}{3}BD GE = \frac{1}{3}CE Vì BD = CE (theo câu a), nên GD = GE. Xét \triangle GBC, theo bất đẳng thức tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại: BG + CG > BC Thay BG = 2GD và CG = 2GE vào bất đẳng thức trên: 2GD + 2GE > BCGD = \frac{1}{3}BD

Vì BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm của tam giác ABC. 2. Sử dụng tính chất trọng tâm: Theo tính chất trọng tâm, ta có: BG = \frac{2}{3}BM \implies BM = \frac{3}{2}BG CG = \frac{2}{3}CN \implies CN = \frac{3}{2}CG 3. Áp dụng Bất đẳng thức Tam giác: Xét tam giác GBC. Theo định lý bất đẳng thức tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ lớn hơn độ dài cạnh còn lại: BG + CG > BC \quad (1) 4. Thay thế và kết luận: Thay biểu thức của BG và CG theo BM và CN từ bước 2 vào bất đẳng thức (1): \frac{2}{3}BM + \frac{2}{3}CN > BC Nhóm các hạng tử chứa BM và CN ra ngoài: \frac{2}{3}(BM + CN) > BC Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \frac{3}{2} (một số dương, không đổi chiều bất đẳng thức): BM + CN > \frac{3}{2}BC Vậy, ta đã chứng minh được BM + CN > \frac{3}{2}BC.

Vì D nằm trên tia phân giác góc \widehat{BAC}, và DH \perp AB, DK \perp AC nên khoảng cách từ D đến hai cạnh AB và AC bằng nhau, hay DH = DK. Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn BC: D là trung điểm của BC nên BD = CD. Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau: Hai tam giác \triangle DHB và \triangle DKC đều là tam giác vuông tại H và K tương ứng, với: Cạnh huyền: BD = CD Cạnh góc vuông: DH = DK Theo định lý Huy cho tam giác vuông, hai tam giác này hoàn toàn bằng nhau. Suy ra kết quả cuối cùng: Từ \triangle DHB = \triangle DKC suy ra cạnh tương ứng BH = CK.

Nhiệm vụ: Số trận thắng của một đội bóng trong 8 năm từ năm 2013 đến năm 2020 được cho lần lượt như sau: 36; 42; 15; 23; 25; 35; 32; 20.

Nhiệm vụ: Số trận thắng của một đội bóng trong 8 năm từ năm 2013 đến năm 2020 được cho lần lượt như sau: 36; 42; 15; 23; 25; 35; 32; 20.

Nhiệm vụ: Số trận thắng của một đội bóng trong 8 năm từ năm 2013 đến năm 2020 được cho lần lượt như sau: 36; 42; 15; 23; 25; 35; 32; 20.