a) Chứng minh tam giác OBC là tam giác cân. Do \triangle ABC cân tại A \implies \widehat{B} = \widehat{C}. Vì BQ, CP là tia phân giác \implies \widehat{OBC} = \frac{1}{2}\widehat{B} và \widehat{OCB} = \frac{1}{2}\widehat{C}. \implies \widehat{OBC} = \widehat{OCB}. Vậy \triangle OBC cân tại O. b) Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh AB, AC và BC. Vì O là giao điểm của hai đường phân giác BQ và CP, nên O cách đều các cạnh của \triangle ABC. c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó. Trong \triangle ABC cân tại A, tia phân giác AO đồng thời là đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh đáy BC. d) Chứng minh CP = BQ. Xét \triangle BQC và \triangle CPB: BC chung. \widehat{B} = \widehat{C} (gt). \widehat{QBC} = \widehat{PCB} (do BQ, CP là p/g của hai góc bằng nhau). \implies \triangle BQC = \triangle CPB (g.c.g) \implies CP = BQe) Tam giác APQ là tam giác gì? Vì sao?

=> \angle AOE = \angle COE, hay OE là tia phân giác góc xOy2. Chứng minh \triangle ABE = \triangle CDE

Chứng minh câu a): Do I nằm trên tia phân giác \widehat{xOy} nên khoảng cách từ I đến hai cạnh Ox, Oy bằng nhau: IE = IF. Hai tam giác \triangle IOE và \triangle IOF đều vuông, có cạnh huyền chung IO và cạnh góc vuông bằng nhau, nên theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông, hai tam giác bằng nhau. Chứng minh câu b): Từ câu a, ta có OE=OF nên \triangle OEF cân tại O. Tia Om đồng thời là tia phân giác của góc \widehat{EOF}, theo tính chất tam giác cân, tia phân giác cũng là đường cao nên EF \perp Om

Xác định vị trí của I: Theo giả thiết, DI là tia phân giác của \widehat{ADC}. Theo tính chất đường phân giác, điểm I nằm trên tia phân giác thì cách đều hai cạnh tạo thành góc đó, tức là cách đều đường thẳng AD và đường thẳng DC. Thiết lập các khoảng cách: K là hình chiếu của I trên BC, nên IK là khoảng cách từ I đến đường thẳng DC (vì DC nằm trên BC). Khoảng cách từ I đến đường thẳng AD là \text{Dist}(I, AD). Do DI là phân giác của \widehat{ADC}, ta có: IK = \text{Dist}(I, AD) Kết luận: Ta cần chứng minh IH = IK. Thay IK từ (2), ta cần chứng minh: IH = \text{Dist}(I, AD) Điều này có nghĩa là I phải cách đều hai đường thẳng AB và AD. Nói cách khác, I phải nằm trên tia phân giác của \widehat{BAD}. .

Xác định vị trí của I: Theo giả thiết, DI là tia phân giác của \widehat{ADC}. Theo tính chất đường phân giác, điểm I nằm trên tia phân giác thì cách đều hai cạnh tạo thành góc đó, tức là cách đều đường thẳng AD và đường thẳng DC. Thiết lập các khoảng cách: K là hình chiếu của I trên BC, nên IK là khoảng cách từ I đến đường thẳng DC (vì DC nằm trên BC). Khoảng cách từ I đến đường thẳng AD là \text{Dist}(I, AD). Do DI là phân giác của \widehat{ADC}, ta có: IK = \text{Dist}(I, AD) Kết luận: Ta cần chứng minh IH = IK. Thay IK từ (2), ta cần chứng minh: IH = \text{Dist}(I, AD) Điều này có nghĩa là I phải cách đều hai đường thẳng AB và AD. Nói cách khác, I phải nằm trên tia phân giác của \widehat{BAD}.

Xác định vị trí của I: Theo giả thiết, DI là tia phân giác của \widehat{ADC}. Theo tính chất đường phân giác, điểm I nằm trên tia phân giác thì cách đều hai cạnh tạo thành góc đó, tức là cách đều đường thẳng AD và đường thẳng DC. Thiết lập các khoảng cách: K là hình chiếu của I trên BC, nên IK là khoảng cách từ I đến đường thẳng DC (vì DC nằm trên BC). Khoảng cách từ I đến đường thẳng AD là \text{Dist}(I, AD). Do DI là phân giác của \widehat{ADC}, ta có: IK = \text{Dist}(I, AD) Kết luận: Ta cần chứng minh IH = IK. Thay IK từ (2), ta cần chứng minh: IH = \text{Dist}(I, AD) Điều này có nghĩa là I phải cách đều hai đường thẳng AB và AD. Nói cách khác, I phải nằm trên tia phân giác của \widehat{BAD}.

Xác định vị trí của I: Theo giả thiết, DI là tia phân giác của \widehat{ADC}. Theo tính chất đường phân giác, điểm I nằm trên tia phân giác thì cách đều hai cạnh tạo thành góc đó, tức là cách đều đường thẳng AD và đường thẳng DC. Thiết lập các khoảng cách: K là hình chiếu của I trên BC, nên IK là khoảng cách từ I đến đường thẳng DC (vì DC nằm trên BC). Khoảng cách từ I đến đường thẳng AD là \text{Dist}(I, AD). Do DI là phân giác của \widehat{ADC}, ta có: IK = \text{Dist}(I, AD) Kết luận: Ta cần chứng minh IH = IK. Thay IK từ (2), ta cần chứng minh: IH = \text{Dist}(I, AD) Điều này có nghĩa là I phải cách đều hai đường thẳng AB và AD. Nói cách khác, I phải nằm trên tia phân giác của \widehat{BAD}.

Xác định tính chất của điểm D: Gọi d là tia phân giác của \hat{A}. Theo giả thiết, D nằm trên tia phân giác d. Do DH \perp AB và DK \perp AC (H, K là chân đường vuông góc), theo tính chất đường phân giác của một góc, ta có khoảng cách từ D đến hai cạnh bằng nhau: DH = DK Gọi M là trung điểm của BC. Theo giả thiết, đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC tại M chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Do đó, D nằm trên đường trung trực của BC. Theo tính chất đường trung trực, ta có: DB = DC Xét hai tam giác vuông \triangle DHB và \triangle DKC: Ta có \triangle DHB vuông tại H (DH \perp AB). Ta có \triangle DKC vuông tại K (DK \perp AC). Xét hai tam giác vuông này, ta có: DH = DK (cạnh góc vuông, theo mục 1). DB = DC (cạnh huyền, theo mục 1). Chứng minh bằng nhau và kết luận: Từ (2), suy ra \triangle DHB = \triangle DKC. (theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông). Do đó, các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: BH = CK (Điều phải chứng minh).

Dựa vào biểu đồ đã vẽ, chúng ta có thể đưa ra các nhận xét sau: ​Xu hướng chung: Thành tích của vận động viên có xu hướng giảm dần theo thời gian (từ 8 phút xuống còn 6 phút). ​Giai đoạn ổn định: Trong 3 tuần đầu (tuần 1 đến tuần 3), thành tích giữ nguyên ở mức 8 phút. Tuần 5 và tuần 6 cũng giữ mức ổn định ở 6,5 phút. ​Giai đoạn tiến bộ: Từ tuần 3 trở đi, thành tích bắt đầu cải thiện rõ rệt (thời gian chạy ít đi nghĩa là vận động viên chạy nhanh hơn). ​Kết luận: Quá trình luyện tập của vận động viên đang mang lại hiệu quả tích cực vì thời gian hoàn thành quãng đường 1500m ngày càng được rút ngắn.

​a) Tổng số học sinh lớp 7D là: 4 + 6 + 8 + 12 + 10 = 40 (học sinh) ​b) Tỉ lệ học sinh mỗi loại: ​Nước chanh: (4 : 40) \times 100 = 10\% ​Nước cam: (6 : 40) \times 100 = 15\% ​Nước suối: (8 : 40) \times 100 = 20\% ​Trà sữa: (12 : 40) \times 100 = 30\% ​Sinh tố: (10 : 40) \times 100 = 25\% ​c) Hoàn thành biểu đồ: ​Tiêu đề: Tỉ lệ học sinh lớp 7D theo loại nước uống yêu thích. ​Số phần trên biểu đồ (mỗi phần nhỏ ứng với 5%): ​Nước chanh (10%): Chiếm 2 phần. ​Nước cam (15%): Chiếm 3 phần. ​Nước suối (20%): Chiếm 4 phần. ​Trà sữa (30%): Chiếm 6 phần. ​Sinh tố (25%): Chiếm 5 phần.