a) Chứng minh

Xét

và

có:

(theo giả thiết)

chung

(theo giả thiết)

Do đó,

(cạnh - góc - cạnh).

Suy ra

(hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh

Từ

, suy ra

(hai góc tương ứng) và

.

Ta có:

(kề bù)

(kề bù)

Vì

và

nên

và

, suy ra

.

Mặt khác,

nên

(góc kề bù với hai góc bằng nhau).

Xét

và

có:

(chứng minh trên)

(vì

)

Vậy

(góc - cạnh - góc).

c) Chứng minh

là tia phân giác của góc

Xét

và

có:

(giả thiết)

(từ

)

là cạnh chung

Do đó,

(cạnh - cạnh - cạnh).

Suy ra

(hai góc tương ứng).

Vậy

là tia phân giác của góc

.

. Chứng minh tam giác OBC là tam giác cân

Vì

cân tại

nên

.

Do

và

lần lượt là các đường phân giác của

và

nên:

Suy ra

. Tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau là tam giác cân.

Vậy

cân tại

.

2. Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh AB, AC và BC

Trong một tam giác, giao điểm của ba đường phân giác trong được gọi là tâm đường tròn nội tiếp.

Vì

là giao điểm của hai đường phân giác

và

nên

là tâm đường tròn nội tiếp

.

Theo tính chất tâm đường tròn nội tiếp, điểm

sẽ cách đều ba cạnh

và

.

3. Chứng minh AO đi qua trung điểm của BC và vuông góc với BC

Trong

,

là giao điểm của hai đường phân giác

và

, nên

phải là đường phân giác thứ ba (ứng với đỉnh

).

Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng đồng thời là đường trung tuyến và đường cao.

Do đó,

đi qua trung điểm của

và

.

4. Chứng minh CP = BQ

Xét

và

có:

là cạnh chung.

(do

cân tại

).

(cùng bằng

các góc ở đáy bằng nhau).

Từ đó

(g.c.g).

Suy ra

(hai cạnh tương ứng).

5. Tam giác APQ là tam giác gì?

Từ chứng minh ở câu (d),

(hai cạnh tương ứng).

Ta có:

Mà

(do

cân tại

) và

(cmt).

Suy ra

.

Tam giác có hai cạnh bên bằng nhau là tam giác cân.

Vậy

cân tại

.

) Ta có

theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn.

b) Vì

cân tại

và

là phân giác nên

.

bh bằng ck vì chúng là các cạnh tương ứng của hai tam giác vuông bằng nhau của hai tam giác vuông bằng nhau tam giac hbd bằng tam giác kcd

. Chứng minh tam giác

cân

Gọi

là trọng tâm của tam giác

. Theo tính chất trọng tâm, ta có:

Vì giả thiết cho

, suy ra

. Do đó,

cân tại

.

Từ đó, ta có các góc ở đáy bằng nhau:

.

2. Chứng minh

Xét

và

có:

(giả thiết).

kéo theo các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ hoặc sử dụng xét tam giác bằng nhau trực tiếp cho

và

:

là cạnh chung.

(giả thiết).

(do

là trọng tâm,

, kết hợp

theo trường hợp cạnh-góc-cạnh hoặc cạnh-cạnh-cạnh).

Kết quả là

.

Vì

, tam giác

là tam giác cân tại

.

3. Chứng minh

Trong tam giác cân

tại

:

là trọng tâm, nên tia

đi qua trung điểm

của cạnh

(

là đường trung tuyến).

Trong một tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao.

Do đó,

. Vì

thẳng hàng nên

.

Ta xét đáp án A:

Ta có DM = DG. Suy ra GM = 2GD.

Lại có G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó

G

D

G

B

=

1

2

(tính chất trọng tâm)

Nên GB = 2GD.

Khi đó ta có BG = 2GD = GM.

Do đó đáp án A đúng.

Ta xét đáp án B:

Chứng minh tương tự đáp án A, ta được CG = GN.

Xét ∆GMN và ∆GBC, có:

GM = GB (chứng minh trên).

CG = GN (chứng minh trên).

ˆ

M

G

N

=

ˆ

B

G

C

(hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆GMN = ∆GBC (c.g.c).

Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án B đúng.

Ta xét đáp án C:

Ta có ∆GMN = ∆GBC (chứng minh trên).

Suy ra

ˆ

G

M

N

=

ˆ

G

B

C

(cặp góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Ta suy ra MN // BC.

. Xác định vị trí các điểm trên đường thẳng BD

Theo giả thiết,

thuộc đoạn

và

. Gọi độ dài

(

), suy ra

. Khi đó, độ dài đoạn

.

2. Xác định vị trí điểm F

Điểm

thuộc tia đối của tia

. Vì

nằm giữa

và

, nên tia

trùng với tia

. Tia đối của tia

sẽ xuất phát từ

và đi ngược hướng với

.

Do đó,

nằm giữa

và

. Ta có:

.

Theo bài cho:

.

Thay vào ta được:

.

3. Chứng minh D là trung điểm của EF

Ta có

và

. Vì

thẳng hàng và

nằm giữa

nên

là trung điểm của đoạn thẳng

.

4. Xét tam giác EFC

Trong

:

là trung điểm của

(giả thiết) nên

là đường trung tuyến ứng với cạnh

.

là trung điểm của

(chứng minh trên) nên

là đường trung tuyến ứng với cạnh

.

là giao điểm của

và

. Mà

thuộc

(vì

là trung điểm

), nên

chính là giao điểm của hai đường trung tuyến

và

.

Trong một tam giác, giao điểm của các đường trung tuyến là trọng tâm. Vậy

là trọng tâm của

.

Pause

00:00

00:19

Mute

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức có đáp án !!

Trả lời:

verified

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG = 2GC. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm của BD. a) Chứng minh A;G;E thẳng hàng; (ảnh 1)

a) Xét tam giác

A

B

D

có

C

là trung điểm của cạnh

A

D

.

Suy ra

B

C

là trung tuyến của tam giác

A

B

D

.

Lại có,

G

∈

B

C

và

G

B

=

2

C

G

⇒

G

B

=

2

3

B

C

.

Do đó

G

là trọng tâm tam giác

A

B

D

.

Mặt khác,

E

là trung điểm của

B

D

nên

A

E

là đường trung tuyến của tam giác

A

B

D

.

Do đó,

A

E

đi qua trọng tâm

G

hay

A

;

G

;

E

thẳng hàng.

b) Xét hai tam giác

A

B

C

và tam giác

B

C

D

, ta có:

B

C

<

A

B

+

A

C

;

B

C

<

B

D

+

C

D

.

⇒

2

B

C

<

A

B

+

A

C

+

B

D

+

C

D

=

A

B

+

B

D

+

A

D

⇒

B

C

<

A

B

+

B

D

+

A

D

2

(1)

Lại có,

B

C

>

A

B

−

A

C

;

B

C

>

C

D

−

B

D

⇒

2

B

C

>

(

A

B

−

A

C

)

−

(

C

D

−

B

D

)

Do đó,

2

B

C

>

A

B

−

A

C

−

C

D

+

B

D

=

A

B

+

B

D

−

(

A

C

+

C

D

)

Hay

2

B

C

>

A

B

+

B

D

−

A

D

Do đó,

B

C

>

A

B

+

B

D

−

A

D

2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

A

B

+

B

D

−

A

D

2

<

B

C

<

A

B

+

B

D

+

A

D

2

a, do đó tam giác ABD = tam giác ACE (c.g.c)

suy ra BD=CE (hai cạnh chung)

b, tam giác gbc có g^bc bằng g^cb nên tam giác gbc cân tai g

c, trong tam giác gbc cân tại g , g là trọng tâm tam giác abc nên gd bằng bg và he =1/2 ch

gọi G là chung điểm của hai đường trung tuyến BM bà CN. theo tính chất trọng tâm của tan giác , ta có BG= 2/3 BM GG=2/3 CN