Nếu BE = CF thì \triangle ABC cân tại A (tính chất: tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân). ​Chứng minh: GB = \frac{2}{3}BE, GC = \frac{2}{3}CF \Rightarrow GB = GC \Rightarrow \triangle GBC cân tại G. ​Gọi I là trung điểm BC. Trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến AI đồng thời là đường cao. ​Vì G là trọng tâm nên G nằm trên AI. ​Vậy AG chính là đường thẳng AI \Rightarrow AG \perp BC.

a) Chứng minh BG = GM; CG = GN: ​Vì G là trọng tâm \triangle ABC \Rightarrow GD = \frac{1}{2}BG. ​Mà DM = DG \Rightarrow G là trung điểm BM \Rightarrow BG = GM. ​Tương tự GE = \frac{1}{2}CG và EN = EG \Rightarrow G là trung điểm CN \Rightarrow CG = GN. ​b) Chứng minh MN = BC và MN // BC: ​Xét tứ giác BMNC (hoặc xét \triangle GMN và \triangle GBC): ​GM = GB, GN = GC và \angle MGN = \angle BGC (đối đỉnh). ​\Rightarrow \triangle GMN = \triangle GBC (c.g.c). ​\Rightarrow MN = BC và \angle GMN = \angle GBC \Rightarrow MN // BC.

a) Chứng minh A, G, E thẳng hàng: ​Xét \triangle ABD. Có BC là đường trung tuyến (vì C là trung điểm AD). ​Trên BC có điểm G sao cho BG = 2GC \Rightarrow G là trọng tâm \triangle ABD. ​Vì E là trung điểm BD nên AE là đường trung tuyến của \triangle ABD. ​Trọng tâm G phải nằm trên đường trung tuyến AE, do đó A, G, E thẳng hàng. ​b) DG đi qua trung điểm AB: ​Vì G là trọng tâm \triangle ABD, nên đường thẳng đi qua đỉnh D và trọng tâm G phải là đường trung tuyến ứng với cạnh đối diện AB. ​Vậy DG đi qua trung điểm của AB

a) Chứng minh A, G, E thẳng hàng: ​Xét \triangle ABD. Có BC là đường trung tuyến (vì C là trung điểm AD). ​Trên BC có điểm G sao cho BG = 2GC \Rightarrow G là trọng tâm \triangle ABD. ​Vì E là trung điểm BD nên AE là đường trung tuyến của \triangle ABD. ​Trọng tâm G phải nằm trên đường trung tuyến AE, do đó A, G, E thẳng hàng. ​b) DG đi qua trung điểm AB: ​Vì G là trọng tâm \triangle ABD, nên đường thẳng đi qua đỉnh D và trọng tâm G phải là đường trung tuyến ứng với cạnh đối diện AB. ​Vậy DG đi qua trung điểm của AB

a) Chứng minh BD = CE: ​Vì \triangle ABC cân tại A \Rightarrow AB = AC và \angle ABC = \angle ACB. ​D, E là trung điểm AC, AB \Rightarrow AD = DC = AE = EB = \frac{1}{2}AB. ​Xét \triangle BDC và \triangle CEB có: BC chung; \angle BCD = \angle CBE; CD = BE. ​\Rightarrow \triangle BDC = \triangle CEB (c.g.c) \Rightarrow BD = CE. ​b) Chứng minh \triangle GBC cân: ​Từ \triangle BDC = \triangle CEB \Rightarrow \angle DBC = \angle ECB. ​\triangle GBC có hai góc đáy bằng nhau nên là tam giác cân tại G. ​c) Chứng minh GD + GE > \frac{1}{2}BC: ​Trong \triangle GBC, có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác). ​Mà GD = \frac{1}{2}GB và GE = \frac{1}{2}GC (tính chất trọng tâm: GD = \frac{1}{3}BD, GB = \frac{2}{3}BD \Rightarrow GD = \frac{1}{2}GB). ​\Rightarrow 2GD + 2GE > BC \Rightarrow GD + GE > \frac{1}{2}BC

Xét tam giác GBC, theo bất đẳng thức tam giác: BG + CG > BC. ​Thay các tỉ lệ vào: \frac{2}{3}BM + \frac{2}{3}CN > BC. ​Nhân cả hai vế với \frac{3}{2}, ta được: BM + CN > \frac{3}{2}BC (đpcm).

Ta làm ngắn gọn từng ý: a) Chứng minh ΔOBC cân CP, BQ là các đường phân giác ⇒ O là giao điểm hai phân giác ⇒ O là tâm nội tiếp. Tam giác ABC cân tại A ⇒ ∠B = ∠C ⇒ O nằm trên phân giác của ∠B và ∠C đối xứng nhau ⇒ OB = OC ⇒ ΔOBC cân tại O. b) O cách đều ba cạnh AB, AC, BC Tính chất tâm nội tiếp: Giao điểm các đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh. ⇒ O cách đều AB, AC, BC. c) AO đi qua trung điểm BC và vuông góc BC Tam giác ABC cân tại A ⇒ phân giác AD đồng thời là trung tuyến và đường cao O nằm trên phân giác từ A ⇒ O ∈ AD ⇒ AO là: Trung tuyến ⇒ đi qua trung điểm BC Đường cao ⇒ vuông góc BC d) Chứng minh CP = BQ Tam giác cân ⇒ đối xứng qua AO Hai phân giác BQ và CP đối xứng nhau ⇒ CP = BQ. e) Tam giác APQ là tam giác gì? CP = BQ ⇒ P, Q đối xứng nhau qua AO A nằm trên trục đối xứng ⇒ AP = AQ ⇒ ΔAPQ là tam giác cân tại A. Kết luận: a) ΔOBC cân b) O cách đều 3 cạnh c) AO ⟂ BC và đi qua trung điểm BC d) CP = BQ e) ΔAPQ cân tại A

Ta giải lần lượt: a) Chứng minh AD = BC Xét hai tam giác ΔAOD và ΔCOB: OA = OC (giả thiết) OD = OB (giả thiết) ∠AOD = ∠COB (cùng là góc xOy) ⇒ ΔAOD = ΔCOB (c.g.c) ⇒ AD = BC. b) Chứng minh ΔABE = ΔCDE Ta có: AD = BC (câu a) OA = OC ⇒ AB = CD (vì OA > OB nên AB = OA − OB, CD = OC − OD ⇒ AB = CD) Xét hai tam giác ΔABE và ΔCDE: AB = CD AE = CE (do E là giao điểm của hai đoạn tương ứng trong hai tam giác bằng nhau) ∠ABE = ∠CDE (so le trong) ⇒ ΔABE = ΔCDE (c.g.c). c) Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy Từ câu b: ΔABE = ΔCDE ⇒ BE = DE ⇒ E cách đều hai cạnh Ox và Oy ⇒ E nằm trên phân giác góc xOy ⇒ OE là tia phân giác của góc xOy. Kết luận: a) AD = BC b) ΔABE = ΔCDE c) OE là tia phân giác của góc xOy

Ta giải từng ý: a) Chứng minh ΔIOE = ΔIOF IE ⟂ Ox ⇒ ∠IEO = 90° IF ⟂ Oy ⇒ ∠IFO = 90° Xét hai tam giác vuông ΔIOE và ΔIOF: IO chung ∠EOI = ∠FOI (vì I nằm trên tia phân giác Om) ⇒ ΔIOE = ΔIOF (cạnh huyền – góc nhọn) b) Chứng minh EF ⟂ Om Từ câu a ⇒ IE = IF → I cách đều hai cạnh Ox và Oy ⇒ I nằm trên phân giác góc xOy (đúng theo giả thiết). Hơn nữa: E và F là hai điểm đối xứng qua Om (do hai tam giác bằng nhau) ⇒ EF ⟂ Om. Kết luận: a) ΔIOE = ΔIOF b) EF ⟂ Om

Ta chứng minh ngắn gọn như sau: ∠A = 120° ⇒ tia phân giác AD ⇒ ∠BAD = ∠DAC = 60°. Xét tam giác ADC: AI là tia phân giác ⇒ ∠ADI = ∠IDC. → Suy ra I nằm trên phân giác của ∠ADC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I lên AB, BC ⇒ IH ⟂ AB, IK ⟂ BC. Xét góc tạo bởi AB và BC: ∠ABC + ∠ACB = 60° (vì ∠A = 120°) Do AD là phân giác và AI tiếp tục chia góc tại D, ta suy ra: I nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi AB và BC. Tính chất: Một điểm nằm trên phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. ⇒ IH = IK. Kết luận: IH = IK.