a) \(\Delta A B C\) vuông cân nên \(\hat{B} = \hat{C} = 45^{\circ} .\)

\(\Delta B H E\) vuông tại \(H\) có \(\hat{B E H} + \hat{B} = 90^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{B E H} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\) nên \(\hat{B} = \hat{B E H} = 45^{\circ}\).

Vậy \(\Delta B E H\) vuông cân tại \(H .\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(\Delta C F G\) vuông cân tại \(G\) nên \(G F = G C\) và \(H B = H E\)

Mặt khác \(B H = H G = G C\) suy ra \(E H = H G = G F\) và \(E H\) // \(F G\) (cùng vuông góc với \(B C \left.\right)\)

Tứ giác \(E F G H\) có \(E H\) // \(F G , E H = F G\) nên là hình bình hành.

Hình bình hành \(E F G H\) có một góc vuông \(\hat{H}\) nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật \(E F G H\) có hai cạnh kề bằng nhau \(E H = H G\) nên là hình vuông.

Tứ giác \(O B A C\) có ba góc vuông \(\hat{B} = \hat{C} = \hat{B O C} = 90^{\circ}\)

Nên \(O B A C\) là hình chữ nhật.

Mà \(A\) nằm trên tia phân giác \(O M\) suy ra \(A B = A C\).

Khi đó \(O B A C\) là hình vuông.

a) Ta có: \(A x ⊥ A C\) và \(B y\) // \(A C\)

Suy ra \(A x ⊥ B y\) \(\Rightarrow \hat{A M B} = 9 0^{\circ}\).

Xét \(\Delta M A Q\) và \(\Delta Q B M\) có

\(\hat{M Q A} = \hat{B M Q}\) (so le trong);

\(M Q\) là cạnh chung;

\(\hat{A M Q} = \hat{B Q M}\) (\(A x\) // \(Q B\)).

Suy ra \(\Delta M A Q = \&\text{nbsp}; \Delta Q B M\) (g-c-g)

Suy ra \(\hat{M B Q} = \hat{M A Q} = 9 0^{\circ}\) (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác \(A M B Q\) có: \(\hat{Q A M} = \hat{A M B} = \hat{M B Q} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

Mà \(P\) là trung điểm AB\(n \hat{e} n\)PQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét \(\Delta A I B\) vuông tại \(I\) và có \(I P\) là đường trung tuyến.

Suy ra \(I P = \frac{1}{2} A B\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow Q P = I P \Rightarrow \Delta P Q I\) cân tại \(P\).

Xét \(\Delta A B C\) có \(B M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(A C\) mà \(B M = \frac{1}{2} A C\) suy ra \(\Delta A B C\) vuông tại \(B\).

Tứ giác \(A B C D\) có \(\hat{A} = \hat{D} = \hat{B} = 90^{\circ}\)

Suy ra tứ giác \(A B C D\) là hình chữ nhật. 

Ta có \(I A = I C\) và \(I H = I D\).

Suy  ra \(A H C D\) là hình bình hành do có hai đường chéo \(A C\) và \(D H\) cắt nhau tại trung điểm \(I\).

Mà \(\hat{A H C} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(A H C D\) là hình chữ nhật.

• M là trung điểm \(A C\), \(P\) là trung điểm \(G B\).
  Xét \(\triangle G A C\), ta thấy: \(M P\) nối hai trung điểm của \(\triangle G A C\).
  ⇒ \(M P \parallel G C\) và \(M P = \frac{1}{2} G C\).\(\left(\right. 1 \left.\right)\)
• \(N\) là trung điểm \(A B\), \(Q\) là trung điểm \(G C\).
  Xét \(\triangle G A B\), ta thấy: \(N Q\) nối hai trung điểm của \(\triangle G A B\).
  ⇒ \(N Q \parallel G B\) và \(N Q = \frac{1}{2} G B\).\(\left(\right. 2 \left.\right)\)
• Từ (1) và (2):
  Vì \(B M\) và \(C N\) là trung tuyến nên giao tại trọng tâm \(G\), có tính chất: \(B G = 2 G P , \textrm{ }\textrm{ } C G = 2 G Q\). (Từ đó tỉ số cũng chuẩn, song song vẫn giữ).

Suy ra:

\(M P \parallel N Q \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} M P = N Q .\)

• Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được:

\(P Q \parallel M N \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} P Q = M N .\)

⇒ Tứ giác \(P Q M N\) có các cặp cạnh đối song song.
Vậy \(P Q M N\) là hình bình hành.

a)

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D \parallel B C\), \(A D = B C\).
• \(E\) là trung điểm \(A D \Rightarrow A E = E D\).
• \(F\) là trung điểm \(B C \Rightarrow B F = F C\).
  ⇒ \(D E = B F\).

Trong tứ giác \(E B F D\): có \(D E \parallel B F\), \(D E = B F\).
⇒ \(E B F D\) là hình bình hành.

b)

• \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(A C , B D\) của hình bình hành \(A B C D\) ⇒ \(O\) là trung điểm của \(B D\).
• Do \(E B F D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(B D\) và \(E F\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Mà \(O\) là trung điểm của \(B D\) ⇒ \(O\) cũng là trung điểm của \(E F\).

⇒ \(E , O , F\) thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

a)

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D \parallel B C\), \(A D = B C\).
• \(E\) là trung điểm \(A D \Rightarrow A E = E D\).
• \(F\) là trung điểm \(B C \Rightarrow B F = F C\).
  ⇒ \(D E = B F\).

Trong tứ giác \(E B F D\): có \(D E \parallel B F\), \(D E = B F\).
⇒ \(E B F D\) là hình bình hành.

b)

• \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(A C , B D\) của hình bình hành \(A B C D\) ⇒ \(O\) là trung điểm của \(B D\).
• Do \(E B F D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(B D\) và \(E F\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Mà \(O\) là trung điểm của \(B D\) ⇒ \(O\) cũng là trung điểm của \(E F\).

⇒ \(E , O , F\) thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.