) \(A B C D\) là hình vuông nên \(A B = B C = C D = D A\)

Mà \(A M = B N = C P = D Q\).

Trừ theo vế ta được \(A B - A M = B C - B N = C D - C P = D A - D Q\)

Suy ra \(M B = N C = P D = Q A\)

b) Xét \(\Delta Q A M\) và \(\Delta N C P\) có:

\(\hat{A} = \hat{C} = 90^{\circ}\)

\(A Q = N C\) (chứng minh trên)

\(A M = C P\) (giả thiết)

Suy ra \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) (c.g.c)

c) Từ \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) suy ra \(N P = M Q\) (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự câu b ta có \(\Delta Q A M = \Delta P D Q\) và \(\Delta Q A M = \Delta M B N\).

Khi đó \(\Rightarrow M Q = P Q , M N = M Q\) và \(\hat{A M Q} = \hat{D Q P}\).

Mà \(\hat{A M Q} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\) suy ra \(\hat{D Q P} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\).

Do đó, \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\).

Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\) nên là hình vuông.

a) Tứ giác \(A M C K\) có hai đường chéo \(A C , M K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\) có \(A M\) là đường trung tuyến nên \(A M = M C = M B\).

Vậy hình bình hành \(A M C K\) có \(A M = M C\) nên là hình thoi.

b) Vì \(A M C K\) là hình thoi nên \(A K\) // \(B M\) và \(A K = M C = B M\).

Tứ giác \(A K M B\) có \(A K\) // \(B M , A K = B M\) nên là hình bình hành.

c) Để \(A M C K\) là hình vuông thì cần có một góc vuông hay \(A M ⊥ M C\).

Khi đó \(\Delta A B C\) có \(A M\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại \(A\).

Vậy \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\) thì \(A M C K\) là hình vuông.

a) \(\Delta A B C\) vuông cân nên \(\hat{B} = \hat{C} = 45^{\circ} .\)

\(\Delta B H E\) vuông tại \(H\) có \(\hat{B E H} + \hat{B} = 90^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{B E H} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\) nên \(\hat{B} = \hat{B E H} = 45^{\circ}\).

Vậy \(\Delta B E H\) vuông cân tại \(H .\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(\Delta C F G\) vuông cân tại \(G\) nên \(G F = G C\) và \(H B = H E\)

Mặt khác \(B H = H G = G C\) suy ra \(E H = H G = G F\) và \(E H\) // \(F G\) (cùng vuông góc với \(B C \left.\right)\)

Tứ giác \(E F G H\) có \(E H\) // \(F G , E H = F G\) nên là hình bình hành.

Hình bình hành \(E F G H\) có một góc vuông \(\hat{H}\) nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật \(E F G H\) có hai cạnh kề bằng nhau \(E H = H G\) nên là hình vuông.

Tứ giác \(O B A C\) có ba góc vuông \(\hat{B} = \hat{C} = \hat{B O C} = 90^{\circ}\)

Nên \(O B A C\) là hình chữ nhật.

Mà \(A\) nằm trên tia phân giác \(O M\) suy ra \(A B = A C\).

Khi đó \(O B A C\) là hình vuông.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

Chứng minh:

• \(m\) cắt \(A B\) và \(C D\) tại \(M , P\)
  ⇒ \(M , P\) nằm trên hai cạnh đối song song \(A B / / C D\).
  ⇒ \(M P / / A B / / C D\).
• \(n\) cắt \(B C\) và \(A D\) tại \(N , Q\)
  ⇒ \(N , Q\) nằm trên hai cạnh đối song song \(B C / / A D\).
  ⇒ \(N Q / / B C / / A D\).
• Do \(m\) và \(n\) vuông góc nhau tại \(O\)
  ⇒ \(m \bot n\).

Vì \(M , P\) thuộc \(m\), \(N , Q\) thuộc \(n\), ta có:

\(M P \bot N Q\)

• Hai cặp cạnh đối song song:

\(M P / / N Q , M N / / P Q\)

(nhờ tính chất đối xứng của hình bình hành \(A B C D\): các cặp cạnh đối song song.)

Vậy tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh đối song song, nên

\(\boxed{M N P Q \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}.}\)

• Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\), O là trung điểm mỗi đường chéo.
• \(m\) và \(n\) là hai đường qua O, vuông góc nhau, nên nếu ta lấy hai điểm M, P trên m (đối xứng qua O), và N, Q trên n (đối xứng qua O), thì:

\(O M = O P , O N = O Q\)

• Do \(m \bot n\), ta có:

\(\angle M O N = 90^{\circ}\)

⇒ Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau:

\(M N = N Q = Q P = P M\)

(vì trong hình có tâm O, các điểm M, N, P, Q đối xứng qua O tạo ra bốn đoạn bằng nhau quanh O).

Kết luận:

Tứ giác \(M N P Q\) là hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau, nên

\(\boxed{M N P Q \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{thoi}.}\)

• Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\), O là trung điểm mỗi đường chéo.
• \(m\) và \(n\) là hai đường qua O, vuông góc nhau, nên nếu ta lấy hai điểm M, P trên m (đối xứng qua O), và N, Q trên n (đối xứng qua O), thì:

\(O M = O P , O N = O Q\)

• Do \(m \bot n\), ta có:

\(\angle M O N = 90^{\circ}\)

⇒ Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau:

\(M N = N Q = Q P = P M\)

(vì trong hình có tâm O, các điểm M, N, P, Q đối xứng qua O tạo ra bốn đoạn bằng nhau quanh O).

Kết luận:

Tứ giác \(M N P Q\) là hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau, nên

\(\boxed{M N P Q \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{thoi}.}\)

• Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\), O là trung điểm mỗi đường chéo.
• \(m\) và \(n\) là hai đường qua O, vuông góc nhau, nên nếu ta lấy hai điểm M, P trên m (đối xứng qua O), và N, Q trên n (đối xứng qua O), thì:

\(O M = O P , O N = O Q\)

• Do \(m \bot n\), ta có:

\(\angle M O N = 90^{\circ}\)

⇒ Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau:

\(M N = N Q = Q P = P M\)

(vì trong hình có tâm O, các điểm M, N, P, Q đối xứng qua O tạo ra bốn đoạn bằng nhau quanh O).

Kết luận:

Tứ giác \(M N P Q\) là hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau, nên

\(\boxed{M N P Q \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{thoi}.}\)

• Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\), O là trung điểm mỗi đường chéo.
• \(m\) và \(n\) là hai đường qua O, vuông góc nhau, nên nếu ta lấy hai điểm M, P trên m (đối xứng qua O), và N, Q trên n (đối xứng qua O), thì:

\(O M = O P , O N = O Q\)

• Do \(m \bot n\), ta có:

\(\angle M O N = 90^{\circ}\)

⇒ Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau:

\(M N = N Q = Q P = P M\)

(vì trong hình có tâm O, các điểm M, N, P, Q đối xứng qua O tạo ra bốn đoạn bằng nhau quanh O).

Kết luận:

Tứ giác \(M N P Q\) là hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau, nên

\(\boxed{M N P Q \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{thoi}.}\)

• Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\), O là trung điểm mỗi đường chéo.
• \(m\) và \(n\) là hai đường qua O, vuông góc nhau, nên nếu ta lấy hai điểm M, P trên m (đối xứng qua O), và N, Q trên n (đối xứng qua O), thì:

\(O M = O P , O N = O Q\)

• Do \(m \bot n\), ta có:

\(\angle M O N = 90^{\circ}\)

⇒ Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau:

\(M N = N Q = Q P = P M\)

(vì trong hình có tâm O, các điểm M, N, P, Q đối xứng qua O tạo ra bốn đoạn bằng nhau quanh O).

Kết luận:

Tứ giác \(M N P Q\) là hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau, nên

\(\boxed{M N P Q \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{thoi}.}\)v

a) \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B = D C\) suy ra \(\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C\)

Do đó \(A M = B M = D N = C N\).

Tứ giác \(A M C N\) có \(A M\) // \(N C , A M = N C\) nên là hình bình hành.

Lại có \(\Delta A D C\) vuông tại \(A\) có \(A N\) là đường trung tuyến nên \(A N = \frac{1}{2} D C = D N = C N\).

Hình bình hành \(A M C N\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo \(A C , M N\) vuông góc với nhau.

Tứ giác \(A M C N\) là hình thoi.

Ta có \(A B C D\) là hình thoi nên \(A C ⊥ B D\) tại trung điểm của mỗi đường nên \(B D\) là trung trực của \(A C\)

Suy ra \(G A = G C , H A = H C\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Và \(A C\) là trung trực của \(B D\) suy ra \(A G = A H , C G = C H\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right) , \left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(A G = G C = C H = H A\) nên \(A G C H\) là hình thoi.

Mô tả các bước sử dụng thuật toán tìm kiếm nhị phân để tìm tên bạn “An”:​

- Bước 1: So sánh “An” và “Hà”. Vì “A” đứng trước “H” trong bảng chữ cái nên bỏ đi nửa sau của danh sách.

+      Ta có kết quả bước 1: An, Bắc, Đạt, Cường, Dũng.

- Bước 2: So sánh “An” và “Đạt”. Vì “A” đứng trước “Đ” trong bảng chữ cái nên bỏ đi nửa sau của danh sách.

+      Ta có kết quả bước 2: An, Bắc.

- Bước 3: Xét vị trí ở giữa của nửa sau còn lại của dãy, đó là vị trí của bạn "An" nên thuật toán kết thúc.

Bước 1: Chọn đối tượng cần tạo hiệu ứng;

- Bước 2: Vào dải lệnh Animations, trong nhóm Animations chọn hiệu ứng xuất hiện trong nhóm hiệu ứng Entrance.

- Bước 3: Tiếp tục chọn Add Animation trong nhóm Advanced Aninmation. Chọn hiệu ứng biến mất trong nhóm hiệu ứng Exit.