a) \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B = D C\) suy ra \(\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C\)

Do đó \(A M = B M = D N = C N\).

Tứ giác \(A M C N\) có \(A M\) // \(N C , A M = N C\) nên là hình bình hành.

Lại có \(\Delta A D C\) vuông tại \(A\) có \(A N\) là đường trung tuyến nên \(A N = \frac{1}{2} D C = D N = C N\).

Hình bình hành \(A M C N\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo \(A C , M N\) vuông góc với nhau.

Tứ giác \(A M C N\) là hình thoi.

Ta có \(A B C D\) là hình thoi nên \(A C ⊥ B D\) tại trung điểm của mỗi đường nên \(B D\) là trung trực của \(A C\)

Suy ra \(G A = G C , H A = H C\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Và \(A C\) là trung trực của \(B D\) suy ra \(A G = A H , C G = C H\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right) , \left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(A G = G C = C H = H A\) nên \(A G C H\) là hình thoi.

a) Tứ giác \(D K M N\) có \(\hat{D} = \hat{K} = \hat{N} = 90^{\circ}\) nên là hình chữ nhật.

b) Vì \(D K M N\) là hình chữ nhật nên \(D F\) // \(M H\)

Xét \(\Delta K F M\) và \(\Delta N M E\) có:

     \(\hat{K} = \hat{N} = 90^{\circ}\)

     \(F M = M E\) ( giả thiết)

     \(\hat{K M F} = \hat{E}\) (đồng vị)

Vậy \(\Delta K F M = \Delta N M E\) (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra \(K F = M N\) (hai cạnh tương ứng) mà \(M N = D K\) nên \(D F = 2 D K\) và \(M H = 2 M N\).

Do đó \(D F = M H\).

Tứ giác \(D F M H\) có \(D F\) // \(M H , D F = M H\) nên là hình bình hành.

Do đó, hai đường chéo \(D M , F H\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường hay \(F , O , H\) thẳng hàng.

c) Để hình chữ nhật \(D K M N\) là hình vuông thì \(D K = D N\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Mà \(D K = \frac{1}{2} D F\) và \(D N = K M = N E\) nên \(D N = \frac{1}{2} D E\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right) , \left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(D F = D E\).

Vậy \(\Delta D F E\) cần thêm điều kiên cân tại \(D\).

a) Vì \(A B = 2 B C\) suy ra \(B C = \frac{A B}{2} = A D\)

\(A B C D\) là hình chữ nhật nên \(A B = D C\) suy ra \(\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C\) do đó \(A I = D K = A D\).

Tứ giác \(A I K D\) có \(A I\) // \(D K , A I = D K\) nên \(A I K D\) là hình bình hành.

Lại có \(A D = A I\) nên \(A I K D\) là hình thoi.

Mà \(\hat{I A D} = 90^{\circ}\) do đó \(A I K D\) là hình vuông.

Chứng minh tương tự cho tứ giác \(B I K C\)

b) Vì \(A I K D\) là hình vuông nên \(D I\) là tia phân giác \(\hat{A D K}\) hay \(\hat{I D K} = 45^{\circ}\).

Tương tự \(\hat{I C D} = 45^{\circ}\).

\(\Delta I D C\) cân có \(\hat{D I C} = 90^{\circ}\) nên là tam giác vuông cân.

c) Vì \(A I K D , B C K I\) là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(S I = S K = \frac{D I}{2}\) và \(I R = R K = \frac{I C}{2}\)

Suy ra \(I S K R\) là hình thoi.

Lại có \(\hat{D I C} = 90^{\circ}\) nên \(I S K R\) là hình vuông.

Tứ giác ABCD là hình vuông \(\Rightarrow \backslash\text{hept} \left{\right. A B = B C = C D = A D \\ \hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 9 0^{0}\)

Mà \(A M = B N = C P = D Q \left(\right. g t \left.\right)\)

\(\Rightarrow A B - A M = B C - B N = C D - C P = A D - D Q\)

\(\Rightarrow B M = C N = D P = A Q\)

Xét các tam giác AQM, BMN, CNP và DPQ, ta có:

\(A M = B N = C P = D Q \left(\right. g t \left.\right)\); \(\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} \left(\right. c m t \left.\right)\)và \(A Q = B M = C N = D P \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \Delta A Q M = \Delta B M N = \Delta C N P = \Delta D P Q \left(\right. c . g . c \left.\right)\)

\(\Rightarrow{QM=MN=NP=PQ\\\hat{A Q M}=\hat{B M N}}\)\(\Rightarrow\)Tứ giác MNPQ là hình thoi.

Vì \(\Delta A M Q\)vuông tại A nên \(\hat{A Q M} + \hat{A M Q} = 9 0^{0}\), mà \(\hat{A Q M} = \hat{B M N} \left(\right. c m t \left.\right) \Rightarrow \hat{A M Q} + \hat{B M N} = 9 0^{0}\)

Lại có \(\hat{N M Q} = 18 0^{0} - \left(\right. \hat{A M Q} + \hat{B M N} \left.\right) = 18 0^{0} - 9 0^{0} = 9 0^{0}\)

Hình thoi MNPQ (cmt) có \(\hat{N M Q} = 9 0^{0} \left(\right. c m t \left.\right) \Rightarrow\)MNPQ là hình vuông (đpcm)

a: Xét ΔABC có

M,I lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>MI là đường trung bình của ΔABC

=>MI//AB và MI=AB/2

MI//AB

I∈MKI∈MK

Do đó: MK//AB

MI=AB2MI=2AB​

MI=MK2MI=2MK​

Do đó: AB=MK

Xét tứ giác ABMK có

MK//AB

MK=AB

Do đó: ABMK là hình bình hành

b: Để hình bình hành AKMB là hình thoi thì MB=BA

ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

nên AM=MB=MC=BC2AM=MB=MC=2BC​

=>AM=MB=BA

=>ΔMAB đều

=>ABC^=600ABC=600

Vì ΔABC vuông cân tại A nên ˆB=ˆC = 45^o

Vì ΔBHE vuông tại H có ˆB = 45^o nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có ˆC = 45^o nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF.

Ta có: BH = HG = GC (giả thiết)

Suy ra: HE = HG = GF.

Vì EH // GF (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thắng thứ ba)

Xét tứ giác HEFG có:

EH // GF

HE = GF

Do đó, tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Lại có ˆEHG = 90^o nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Do đó, HEFG là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông)

AC⊥Oy (gt); \(O x \bot O y\) (gt) => AC//Oy => AC//OB

C/m tương tự có AB//OC

=> OBAC là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\hat{x O y} = 9 0^{o}\)

=> OBAC là HCN

Ta có

AC=AB (Tính chất đường phân giác)

=> OBAC là hình vuông

a) Ta có: \(A x ⊥ A C\) và \(B y\) // \(A C\)

Suy ra \(A x ⊥ B y\) \(\Rightarrow \hat{A M B} = 9 0^{\circ}\).

Xét \(\Delta M A Q\) và \(\Delta Q B M\) có

\(\hat{M Q A} = \hat{B M Q}\) (so le trong);

\(M Q\) là cạnh chung;

\(\hat{A M Q} = \hat{B Q M}\) (\(A x\) // \(Q B\)).

Suy ra \(\Delta M A Q = \&\text{nbsp}; \Delta Q B M\) (g-c-g)

Suy ra \(\hat{M B Q} = \hat{M A Q} = 9 0^{\circ}\) (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác \(A M B Q\) có: \(\hat{Q A M} = \hat{A M B} = \hat{M B Q} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

Mà \(P\) là trung điểm AB\(n \hat{e} n\)PQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét \(\Delta A I B\) vuông tại \(I\) và có \(I P\) là đường trung tuyến.

Suy ra \(I P = \frac{1}{2} A B\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow Q P = I P \Rightarrow \Delta P Q I\) cân tại \(P\)

a) Ta có: \(A x ⊥ A C\) và \(B y\) // \(A C\)

Suy ra \(A x ⊥ B y\) \(\Rightarrow \hat{A M B} = 9 0^{\circ}\).

Xét \(\Delta M A Q\) và \(\Delta Q B M\) có

\(\hat{M Q A} = \hat{B M Q}\) (so le trong);

\(M Q\) là cạnh chung;

\(\hat{A M Q} = \hat{B Q M}\) (\(A x\) // \(Q B\)).

Suy ra \(\Delta M A Q = \&\text{nbsp}; \Delta Q B M\) (g-c-g)

Suy ra \(\hat{M B Q} = \hat{M A Q} = 9 0^{\circ}\) (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác \(A M B Q\) có: \(\hat{Q A M} = \hat{A M B} = \hat{M B Q} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

Mà \(P\) là trung điểm AB\(n \hat{e} n\)PQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét \(\Delta A I B\) vuông tại \(I\) và có \(I P\) là đường trung tuyến.

Suy ra \(I P = \frac{1}{2} A B\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow Q P = I P \Rightarrow \Delta P Q I\) cân tại \(P\)