Xét tam giác \(A B C\), áo dụng tính chất tia phân giác trong tam giác, ta có: 

\(\frac{A M}{M B} = \frac{A C}{C B} = \frac{A B}{C B} = \frac{A N}{N C} \left(\right. = \frac{b}{a} \left.\right)\)

Vậy \(M N\) // \(B C\) (Định lí đảo của định lí Thalès)

Suy ra \(\frac{M N}{B C} = \frac{A M}{A B} = \frac{b}{b + a}\) (Định lí Thalès)

Vậy nên \(M N = \frac{a b}{a + b} .\)

Tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) nên \(A B = A C = 12\) cm.

Xét tam giác \(A B C\), áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

\(\frac{A D}{D B} = \frac{A C}{C B} = \frac{12}{6} = 2\)

Suy ra \(\frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}\) suy ra \(A D = \frac{2}{3} . 12 = 8\) (cm)

Do đó, \(D B = 12 - 8 = 4\) (cm).

Xét \(\Delta B E D\) có \(\left{MI//ED\\ME=BM}\) suy ra \(I D = I B\).

Xét \(\Delta C E D\) có \(\left{.\&NK//ED\\\&NC=ND}\) suy ra \(K E = K C\).

Suy ra \(M I = \frac{1}{2} E D\); \(N K = \frac{1}{2} E D\); \(E D = \frac{1}{2} B C\).

\(I K = M K - M I = \frac{1}{2} B C - \frac{1}{2} D E = D E - \frac{1}{2} D E = \frac{1}{2} D E\).

Vậy \(M I = I K = K N\).

a) Vì \(B M\), \(C N\) là các đường trung tuyến của \(\Delta A B C\) nên \(M A = M C\), \(N A = N B\).

Do đó \(M N\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\), suy ra \(M N\) // \(B C\). (1)

Ta có \(D E\) là đường trung bình của \(\Delta GBC\) nên \(D E\) // \(B C\).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M N\) // \(D E\).

b) Xét \(\Delta ABG\), ta có \(N D\) là đường trung bình.

Xét \(\Delta ACG\), ta có \(M E\) là đường trung bình.

Do đó \(N D\) // \(A G\), \(M E\) // \(A G\).

Suy ra \(N D\) // \(M E\).

a) Qua \(D\) vẽ một đường thẳng song song với \(B M\) cắt \(A C\) tại \(N\).

Xét \(\Delta MBC\) có \(D B = D C\) và \(D N\) // \(B M\) nên \(M N = N C = \frac{1}{2} M C\) (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác \(A M = \frac{1}{2} M C\), do đó \(A M = M N = \frac{1}{2} M C\).

Xét \(\Delta AND\) có \(A M = M N\) và \(B M\) // \(D N\) nên \(O A = O D\) hay \(O\) là trung điểm của \(A D\).

b) Xét \(\Delta AND\) có \(O M\) là đường trung bình nên \(O M = \frac{1}{2} D N\). (1)

Xét \(\Delta MBC\) có \(D N\) là đường trung bình nên \(D N = \frac{1}{2} B M\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O M = \frac{1}{4} B M\).

a) Kẻ \(M N\) // \(B D\), \(N \in A C\).

\(M N\) là đường trung bình trong \(\triangle C B D\)

Suy ra \(N\) là trung điểm của \(C D\) (1).

\(I N\) là đường trung bình trong \(\triangle A M N\)

Suy ra \(D\) là trung điểm của \(A N\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(A D = \frac{1}{2} D C\).

b) Có \(I D = \frac{1}{2} M N\); \(M N = \frac{1}{2} B D\), nên \(B D = I D\).

• Thể thơ: Thất ngôn tứ tuyệt Đường luật (viết bằng chữ Nôm).

• Trợ từ: Kìa, há (nhằm nhấn mạnh sự chú ý hoặc dùng trong câu hỏi tu từ).
• Từ tượng hình: Cheo leo (miêu tả sự cao, không vững chãi, chới với của ngôi đền).

• Các từ ngữ: Ghé mắt trông ngang, kìa, ví đây đổi phận, há bấy nhiêu.
• Nhận xét: Thái độ của nữ sĩ là sự xem thường, khinh bỉ và ngạo nghễ. Bà không nhìn thẳng với vẻ cung kính mà chỉ "ghé mắt trông ngang" – một cái nhìn thiếu sự tôn trọng. Thái độ ấy cho thấy sự tự tin của một người phụ nữ bản lĩnh, coi thường kẻ bại trận, đồng thời thể hiện tinh thần tự hào dân tộc.

• Biện pháp tu từ: Sử dụng từ tượng hình (cheo leo) và nghệ thuật miêu tả qua cái nhìn (ghé mắt trông ngang).
• Tác dụng:
• • Làm nổi bật sự thảm hại, nhỏ bé và trơ trọi của ngôi đền thờ tướng giặc Sầm Nghi Đống.
  • Hạ thấp uy thế của một "Thái thú" xuống mức tầm thường, bị chế giễu.
  • Thể hiện sự bản lĩnh, phóng khoáng và thái độ ngạo mạn của "Bà chúa thơ Nôm" trước những kẻ vô năng, thất bại.

• Lòng tự hào dân tộc: Chế giễu kẻ thù thất bại và khẳng định sức mạnh của dân tộc.
• Khát vọng bình đẳng giới: Phê phán quan niệm trọng nam khinh nữ của xã hội phong kiến. Tác giả khẳng định rằng nếu phụ nữ được trao cơ hội và vị thế như nam giới ("đổi phận làm trai"), họ có thể lập nên những sự nghiệp anh hùng vẻ vang hơn nhiều so với những kẻ "thân làm trai" nhưng hèn nhát, bại trận.
• Sự tự ý thức về giá trị bản thân: Khẳng định tài năng, trí tuệ và bản lĩnh của người phụ nữ trong xã hội cũ.