a) \(A B C D\) là hình vuông nên \(A B = B C = C D = D A\)

Mà \(A M = B N = C P = D Q\).

Trừ theo vế ta được \(A B - A M = B C - B N = C D - C P = D A - D Q\)

Suy ra \(M B = N C = P D = Q A\)

b) Xét \(\Delta Q A M\) và \(\Delta N C P\) có:

\(\hat{A} = \hat{C} = 90^{\circ}\)

\(A Q = N C\) (chứng minh trên)

\(A M = C P\) (giả thiết)

Suy ra \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) (c.g.c)

c) Từ \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) suy ra \(N P = M Q\) (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự câu b ta có \(\Delta Q A M = \Delta P D Q\) và \(\Delta Q A M = \Delta M B N\).

Khi đó \(\Rightarrow M Q = P Q , M N = M Q\) và \(\hat{A M Q} = \hat{D Q P}\).

Mà \(\hat{A M Q} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\) suy ra \(\hat{D Q P} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\).

Do đó, \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\).

Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\) nên là hình vuông.

a) Tứ giác \(A M C K\) có hai đường chéo \(A C , M K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\) có \(A M\) là đường trung tuyến nên \(A M = M C = M B\).

Vậy hình bình hành \(A M C K\) có \(A M = M C\) nên là hình thoi.

b) Vì \(A M C K\) là hình thoi nên \(A K\) // \(B M\) và \(A K = M C = B M\).

Tứ giác \(A K M B\) có \(A K\) // \(B M , A K = B M\) nên là hình bình hành.

c) Để \(A M C K\) là hình vuông thì cần có một góc vuông hay \(A M ⊥ M C\).

Khi đó \(\Delta A B C\) có \(A M\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại \(A\).

Vậy \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\) thì \(A M C K\) là hình vuông.

a) \(\Delta A B C\) vuông cân nên \(\hat{B} = \hat{C} = 45^{\circ} .\)

\(\Delta B H E\) vuông tại \(H\) có \(\hat{B E H} + \hat{B} = 90^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{B E H} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\) nên \(\hat{B} = \hat{B E H} = 45^{\circ}\).

Vậy \(\Delta B E H\) vuông cân tại \(H .\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(\Delta C F G\) vuông cân tại \(G\) nên \(G F = G C\) và \(H B = H E\)

Mặt khác \(B H = H G = G C\) suy ra \(E H = H G = G F\) và \(E H\) // \(F G\) (cùng vuông góc với \(B C \left.\right)\)

Tứ giác \(E F G H\) có \(E H\) // \(F G , E H = F G\) nên là hình bình hành.

Hình bình hành \(E F G H\) có một góc vuông \(\hat{H}\) nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật \(E F G H\) có hai cạnh kề bằng nhau \(E H = H G\) nên là hình vuông

Tứ giác \(O B A C\) có ba góc vuông \(\hat{B} = \hat{C} = \hat{B O C} = 90^{\circ}\)

Nên \(O B A C\) là hình chữ nhật.

Mà \(A\) nằm trên tia phân giác \(O M\) suy ra \(A B = A C\).

Khi đó \(O B A C\) là hình vuông.

a) \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C , B D\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Xét \(\Delta O B M\) và \(\Delta O D P\) có:

     \(O B = O D\) ( giả thiết)

     \(\hat{O B M} = \hat{O D P}\) (so le trong)

     \(\hat{B O M} = \hat{D O P}\) (đối đỉnh)

Vậy \(\Delta O B M = \Delta O D P\) (g.c.g)

Suy ra \(O M = O P\) (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự \(\Delta O A Q = \Delta O C N\) (g.c.g) suy ra \(O Q = O N\) (hai cạnh tương ứng)

\(M N P Q\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành \(M N P Q\) có hai đường chéo \(M P ⊥ N Q\) nên là hình thoi.

a) \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B = D C\) suy ra \(\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C\)

Do đó \(A M = B M = D N = C N\).

Tứ giác \(A M C N\) có \(A M\) // \(N C , A M = N C\) nên là hình bình hành.

Lại có \(\Delta A D C\) vuông tại \(A\) có \(A N\) là đường trung tuyến nên \(A N = \frac{1}{2} D C = D N = C N\).

Hình bình hành \(A M C N\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo \(A C , M N\) vuông góc với nhau.

Tứ giác \(A M C N\) là hình thoi.

Ta có \(A B C D\) là hình thoi nên \(A C ⊥ B D\) tại trung điểm của mỗi đường nên \(B D\) là trung trực của \(A C\)

Suy ra \(G A = G C , H A = H C\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Và \(A C\) là trung trực của \(B D\) suy ra \(A G = A H , C G = C H\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right) , \left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(A G = G C = C H = H A\) nên \(A G C H\) là hình thoi.

) Ta có: A x ⊥ A C Ax⊥AC và B y By // A C AC Suy ra A x ⊥ B y Ax⊥By ⇒ A M B ^ = 9 0 ∘ ⇒ AMB =90 ∘ . Xét Δ M A Q ΔMAQ và Δ Q B M ΔQBM có M Q A ^ = B M Q ^ MQA ​ = BMQ ​ (so le trong); M Q MQ là cạnh chung; A M Q ^ = B Q M ^ AMQ ​ = BQM ​ ( A x Ax // Q B QB). Suy ra Δ M A Q = Δ Q B M ΔMAQ= ΔQBM (g-c-g) Suy ra M B Q ^ = M A Q ^ = 9 0 ∘ MBQ ​ = MAQ ​ =90 ∘ (2 góc tương ứng) Xét tứ giác A M B Q AMBQ có: Q A M ^ = A M B ^ = M B Q ^ = 9 0 ∘ QAM ​ = AMB = MBQ ​ =90 ∘ Suy ra tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. b) Do tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. Mà P P là trung điểm AB n e ^ n n e ^ nPQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1) Xét Δ A I B ΔAIB vuông tại I I và có I P IP là đường trung tuyến. Suy ra I P = 1 2 A B IP= 2 1 ​ AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ Q P = I P ⇒ Δ P Q I ⇒QP=IP⇒ΔPQI cân tại P P.

) Ta có: A x ⊥ A C Ax⊥AC và B y By // A C AC Suy ra A x ⊥ B y Ax⊥By ⇒ A M B ^ = 9 0 ∘ ⇒ AMB =90 ∘ . Xét Δ M A Q ΔMAQ và Δ Q B M ΔQBM có M Q A ^ = B M Q ^ MQA ​ = BMQ ​ (so le trong); M Q MQ là cạnh chung; A M Q ^ = B Q M ^ AMQ ​ = BQM ​ ( A x Ax // Q B QB). Suy ra Δ M A Q = Δ Q B M ΔMAQ= ΔQBM (g-c-g) Suy ra M B Q ^ = M A Q ^ = 9 0 ∘ MBQ ​ = MAQ ​ =90 ∘ (2 góc tương ứng) Xét tứ giác A M B Q AMBQ có: Q A M ^ = A M B ^ = M B Q ^ = 9 0 ∘ QAM ​ = AMB = MBQ ​ =90 ∘ Suy ra tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. b) Do tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. Mà P P là trung điểm AB n e ^ n n e ^ nPQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1) Xét Δ A I B ΔAIB vuông tại I I và có I P IP là đường trung tuyến. Suy ra I P = 1 2 A B IP= 2 1 ​ AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ Q P = I P ⇒ Δ P Q I ⇒QP=IP⇒ΔPQI cân tại P P.

) Ta có: A x ⊥ A C Ax⊥AC và B y By // A C AC Suy ra A x ⊥ B y Ax⊥By ⇒ A M B ^ = 9 0 ∘ ⇒ AMB =90 ∘ . Xét Δ M A Q ΔMAQ và Δ Q B M ΔQBM có M Q A ^ = B M Q ^ MQA ​ = BMQ ​ (so le trong); M Q MQ là cạnh chung; A M Q ^ = B Q M ^ AMQ ​ = BQM ​ ( A x Ax // Q B QB). Suy ra Δ M A Q = Δ Q B M ΔMAQ= ΔQBM (g-c-g) Suy ra M B Q ^ = M A Q ^ = 9 0 ∘ MBQ ​ = MAQ ​ =90 ∘ (2 góc tương ứng) Xét tứ giác A M B Q AMBQ có: Q A M ^ = A M B ^ = M B Q ^ = 9 0 ∘ QAM ​ = AMB = MBQ ​ =90 ∘ Suy ra tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. b) Do tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. Mà P P là trung điểm AB n e ^ n n e ^ nPQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1) Xét Δ A I B ΔAIB vuông tại I I và có I P IP là đường trung tuyến. Suy ra I P = 1 2 A B IP= 2 1 ​ AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ Q P = I P ⇒ Δ P Q I ⇒QP=IP⇒ΔPQI cân tại P P.