Ta có IA=IC và IH=ID

=>AHCD là hình bình hành do có hai đường chéo AC và DH cắt nhau tại I

Mà góc AHC =90 độ =>AHCD là hình chữ nhật

a. Do ABCD là hình bình hành nên AD//BC và AD=BC

Do AD//BC nên góc ADB=góc CBD ( so le trong )

Xét tam giác ADH và tam giác CBK có

góc AHD=góc CKB =90 độ

AD=BC ( chứng minh trên )

góc ADH =góc CBK

Do đó tam giác ADH = tam giác CBK ( cạnh huyền - góc nhọn )

=>AH =CK ( hai cạnh tương ứng )

Ta có AH vuông góc DB và CK vuông góc DB nên AH//CK

Tứ giác AHCK có AH//CK và AH=CK nên AHCK là hình bình hành ( DHNB )

b. Do AHCK là hình bình hành ( theo phần a) nên 2 đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà I là trung điểm của HK ( GT) nên I là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BC , hay IB=ID

a.ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC

Mà E là trung điểm của AD nên AE=ED

F là trung điểm của BC nên BF = FC

Suy ra DE=BF

Xét tứ giác EBFD có DE//BF ( do AD//BC ) và DE=BF nên là hình bình hành ( DHNB)

b. Ta có O là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD

Do EBFD là hình bình hành nên 2 đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF

Vậy ba điểm E,O,F thẳng hàng

Xét tam giác ABG có

NA=NC,PB=PG=>PN là đường trung bình của tam giác ABG

=> PN =1/2 AG (1)

=> PN//AG (2)

Xét tam giác ACG có

MA=MC,QC=QG=>QN là đường trung bình của tam giác ACG

=> QM = 1/2 AG (3)

=> QM //AG ( 4)

Từ (2)và(4)=>PN//QM

Từ (1)và(3) => PM=QM=1/2 AG

=> PQMN là hình bình hành ( Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành)

a.Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD,AB//CD

Mà 2 điểm B,C lần lượt là trung điểm AE,DF

=> Tứ giác AEFD có AE//DF ( vì AB//CD)

Tứ giác AEFD có AE//DF ( vì AB//CD)

AE=DF ( chứng minh trên )

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tứ giác ABFC có AB//CF ( vì AB//CD)

AB=CF ( chứng minh trên )

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành

b.Vì hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và DF nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ,ta gọi đó là giao điểm O

Hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và BC

Mà O là trung điểm của AE

=>O cũng là trung điểm của BC

Vậy các trung điểm của 3 giai đoạn thẳng AF,DE,BC trung nhau

Xét tứ giác OAM và OCM có

Góc BAC=góc ACD ( 2 góc so le trong )

OA=OC ( trong hình bình hành 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Góc AOM = CON ( 2 góc đối đỉnh )

Suy ra tứ giác OAM = tứ giác OCN ( g.c.g)

Suy ra AM=CN

Ta có : AB=CD ( các cạnh đối hình bình hành )

Suy ra AB-AM=CD-CN=>MB=ND(1)

Ta có

AB//CD( các cạnh đối hình bình hành )=> MB//ND (2)

Từ (1),(2)=>MBND là hình bình hành

a. Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD,AB//CD

Mà E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD nên AE=BE=AB, CF=DF=CD

Do đó AE=BE=CE=DF

Xét tứ giác AEFD có

AE//DF( AB//CD)

AE=DF(chứng minh trên )

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có

AE//CF ( vì AB//CD)

AE=CF ( chứng minh trên )

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành

Vậy hai tứ giác AECF,AEFC là những hình bình hành

b.Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên AF=EC

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF=EC

Vậy EF=AD, AF=EC