Ta có A B C D ABCD là hình thoi nên A C ⊥ B D AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên B D BD là trung trực của A C AC Suy ra G A = G C , H A = H C GA=GC,HA=HC ( 1 ) (1) Và A C AC là trung trực của B D BD suy ra A G = A H , C G = C H AG=AH,CG=CH ( 2 ) (2) Từ ( 1 ) , ( 2 ) (1),(2) suy ra A G = G C = C H = H A AG=GC=CH=HA nên A G C H AGCH là hình thoi.

a) Tứ giác D K M N DKMN có D ^ = K ^ = N ^ = 90 ∘ D = K = N =90 ∘ nên là hình chữ nhật. b) Vì D K M N DKMN là hình chữ nhật nên D F DF // M H MH Xét Δ K F M ΔKFM và Δ N M E ΔNME có: K ^ = N ^ = 90 ∘ K = N =90 ∘ F M = M E FM=ME ( giả thiết) K M F ^ = E ^ KMF = E (đồng vị) Vậy Δ K F M = Δ N M E ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra K F = M N KF=MN (hai cạnh tương ứng) mà M N = D K MN=DK nên D F = 2 D K DF=2DK và M H = 2 M N MH=2MN. Do đó D F = M H DF=MH. Tứ giác D F M H DFMH có D F DF // M H , D F = M H MH,DF=MH nên là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo D M , F H DM,FH cắt nhau tại trung điểm O O của mỗi đường hay F , O , H F,O,H thẳng hàng. c) Để hình chữ nhật D K M N DKMN là hình vuông thì D K = D N DK=DN ( 1 ) (1) Mà D K = 1 2 D F DK= 2 1 DF và D N = K M = N E DN=KM=NE nên D N = 1 2 D E DN= 2 1 DE ( 2 ) (2) Từ ( 1 ) , ( 2 ) (1),(2) suy ra D F = D E DF=DE. Vậy Δ D F E ΔDFE cần thêm điều kiên cân tại D D.

a) Vì A B = 2 B C AB=2BC suy ra B C = A B 2 = A D BC= 2 AB =AD A B C D ABCD là hình chữ nhật nên A B = D C AB=DC suy ra 1 2 A B = 1 2 D C 2 1 AB= 2 1 DC do đó A I = D K = A D AI=DK=AD. Tứ giác A I K D AIKD có A I AI // D K , A I = D K DK,AI=DK nên A I K D AIKD là hình bình hành. Lại có A D = A I AD=AI nên A I K D AIKD là hình thoi. Mà I A D ^ = 90 ∘ IAD =90 ∘ do đó A I K D AIKD là hình vuông. Chứng minh tương tự cho tứ giác B I K C BIKC b) Vì A I K D AIKD là hình vuông nên D I DI là tia phân giác A D K ^ ADK hay I D K ^ = 45 ∘ IDK =45 ∘ . Tương tự I C D ^ = 45 ∘ ICD =45 ∘ . Δ I D C ΔIDC cân có D I C ^ = 90 ∘ DIC =90 ∘ nên là tam giác vuông cân. c) Vì A I K D , B C K I AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên S I = S K = D I 2 SI=SK= 2 DI và I R = R K = I C 2 IR=RK= 2 IC Suy ra I S K R ISKR là hình thoi. Lại có D I C ^ = 90 ∘ DIC =90 ∘ nên I S K R ISKR là hình vuông.

a) A B C D ABCD là hình vuông nên A B = B C = C D = D A AB=BC=CD=DA Mà A M = B N = C P = D Q AM=BN=CP=DQ. Trừ theo vế ta được A B − A M = B C − B N = C D − C P = D A − D Q AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ Suy ra M B = N C = P D = Q A MB=NC=PD=QA b) Xét Δ Q A M ΔQAM và Δ N C P ΔNCP có: A ^ = C ^ = 90 ∘ A = C =90 ∘ A Q = N C AQ=NC (chứng minh trên) A M = C P AM=CP (giả thiết) Suy ra Δ Q A M = Δ N C P ΔQAM=ΔNCP (c.g.c) c) Từ Δ Q A M = Δ N C P ΔQAM=ΔNCP suy ra N P = M Q NP=MQ (hai cạnh tương ứng). Chứng minh tương tự câu b ta có Δ Q A M = Δ P D Q ΔQAM=ΔPDQ và Δ Q A M = Δ M B N ΔQAM=ΔMBN. Khi đó ⇒ M Q = P Q , M N = M Q ⇒MQ=PQ,MN=MQ và A M Q ^ = D Q P ^ AMQ = DQP . Mà A M Q ^ + A Q M ^ = 90 ∘ AMQ + AQM =90 ∘ suy ra D Q P ^ + A Q M ^ = 90 ∘ DQP + AQM =90 ∘ . Do đó, M Q P ^ = 90 ∘ MQP =90 ∘ . Tứ giác M N P Q MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có M Q P ^ = 90 ∘ MQP =90 ∘ nên là hình vuông.

a) Tứ giác A M C K AMCK có hai đường chéo A C , M K AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Δ A B C ΔABC vuông tại A A có A M AM là đường trung tuyến nên A M = M C = M B AM=MC=MB. Vậy hình bình hành A M C K AMCK có A M = M C AM=MC nên là hình thoi. b) Vì A M C K AMCK là hình thoi nên A K AK // B M BM và A K = M C = B M AK=MC=BM. Tứ giác A K M B AKMB có A K AK // B M , A K = B M BM,AK=BM nên là hình bình hành. c) Để A M C K AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay A M ⊥ M C AM⊥MC. Khi đó Δ A B C ΔABC có A M AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A A. Vậy Δ A B C ΔABC vuông cân tại A A thì A M C K AMCK là hình vuông.

a) Δ A B C ΔABC vuông cân nên B ^ = C ^ = 45 ∘ . B = C =45 ∘ . Δ B H E ΔBHE vuông tại H H có B E H ^ + B ^ = 90 ∘ BEH + B =90 ∘ Suy ra B E H ^ = 90 ∘ − 45 ∘ = 45 ∘ BEH =90 ∘ −45 ∘ =45 ∘ nên B ^ = B E H ^ = 45 ∘ B = BEH =45 ∘ . Vậy Δ B E H ΔBEH vuông cân tại H . H. b) Chứng minh tương tự câu a ta được Δ C F G ΔCFG vuông cân tại G G nên G F = G C GF=GC và H B = H E HB=HE Mặt khác B H = H G = G C BH=HG=GC suy ra E H = H G = G F EH=HG=GF và E H EH // F G FG (cùng vuông góc với B C ) BC) Tứ giác E F G H EFGH có E H EH // F G , E H = F G FG,EH=FG nên là hình bình hành. Hình bình hành E F G H EFGH có một góc vuông H ^ H nên là hình chữ nhật Hình chữ nhật E F G H EFGH có hai cạnh kề bằng nhau E H = H G EH=HG nên là hình vuông.

Tứ giác O B A C OBAC có ba góc vuông B ^ = C ^ = B O C ^ = 90 ∘ B = C = BOC =90 ∘ Nên O B A C OBAC là hình chữ nhật. Mà A A nằm trên tia phân giác O M OM suy ra A B = A C AB=AC. Khi đó O B A C OBAC là hình vuông

a) Ta có Ax vuông góc AC và By song song AC. Suy ra Ax vuông góc By, do đó góc AMB bằng 90°. Xét hai tam giác MAQ và QBM: Góc MQA bằng góc BMQ (so le trong), MQ là cạnh chung, Góc AMQ bằng góc BQM (vì Ax song song QB). Suy ra tam giác MAQ bằng tam giác QBM (góc – cạnh – góc). Từ đó góc MBQ bằng góc MAQ bằng 90°. Xét tứ giác AMBQ có các góc QAM, AMB, MBQ đều bằng 90°. Vậy AMBQ là hình chữ nhật. --- b) Vì AMBQ là hình chữ nhật, mà P là trung điểm AB nên PQ = 1/2 AB (1). Xét tam giác AIB vuông tại I, có IP là đường trung tuyến. Suy ra IP = 1/2 AB (2). Từ (1) và (2) suy ra PQ = IP. Vậy tam giác PQI cân tại P.

Xét tam giác ABC có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà BM bằng một nửa AC, suy ra tam giác ABC vuông tại B. Tứ giác ABCD có các góc A, D, B đều bằng 90° Suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Ta có IA = IC và IH = ID. Suy ra tứ giác AHCD là hình bình hành vì hai đường chéo AC và DH cắt nhau tại trung điểm I. Mà góc AHC = 90° nên AHCD là hình chữ nhật.