ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo A C , B D AC,BD cắt nhau tại O O là trung điểm của mỗi đường. Xét Δ O B M ΔOBM và Δ O D P ΔODP có: O B = O D OB=OD ( giả thiết) O B M ^ = O D P ^ OBM = ODP (so le trong) B O M ^ = D O P ^ BOM = DOP (đối đỉnh) Vậy Δ O B M = Δ O D P ΔOBM=ΔODP (g.c.g) Suy ra O M = O P OM=OP (hai cạnh tương ứng) Chứng minh tương tự Δ O A Q = Δ O C N ΔOAQ=ΔOCN (g.c.g) suy ra O Q = O N OQ=ON (hai cạnh tương ứng) M N P Q MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. b) Hình bình hành M N P Q MNPQ có hai đường chéo M P ⊥ N Q MP⊥NQ nên là hình thoi

ABCD là hình bình hành nên A B = D C AB=DC suy ra 1 2 A B = 1 2 D C 2 1 ​ AB= 2 1 ​ DC Do đó A M = B M = D N = C N AM=BM=DN=CN. Tứ giác A M C N AMCN có A M AM // N C , A M = N C NC,AM=NC nên là hình bình hành. Lại có Δ A D C ΔADC vuông tại A A có A N AN là đường trung tuyến nên A N = 1 2 D C = D N = C N AN= 2 1 ​ DC=DN=CN. Hình bình hành A M C N AMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo A C , M N AC,MN vuông góc với nhau. Tứ giác A M C N AMCN là hình thoi.

loading... Ta có A B C D ABCD là hình thoi nên A C ⊥ B D AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên B D BD là trung trực của A C AC Suy ra G A = G C , H A = H C GA=GC,HA=HC ( 1 ) (1) Và A C AC là trung trực của B D BD suy ra A G = A H , C G = C H AG=AH,CG=CH ( 2 ) (2) Từ ( 1 ) , ( 2 ) (1),(2) suy ra A G = G C = C H = H A AG=GC=CH=HA nên A G C H AGCH là hình thoi.

Do A B C D ABCD là hình bình hành nên A D AD // B C BC và A D = B C AD=BC. Do A D AD // B C BC nên A D B ^ = C B D ^ ADB = CBD (so le trong) Xét Δ A D H ΔADH và Δ C B K ΔCBK có: A H D ^ = C K B ^ = 9 0 ∘ AHD = CKB =90 ∘ ; A D = B C AD=BC (chứng minh trên); A D H ^ = C B K ^ ADH = CBK (do A D B ^ = C B D ^ ADB = CBD ). Do đó Δ A D H = Δ C B K Δ ADH=Δ CBK (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra A H = C K AH=CK (hai cạnh tương ứng). Ta có A H ⊥ D B AH⊥ DB và C K ⊥ D B CK⊥ DB nên A H AH // C K CK. Tứ giác A H C K AHCK có A H AH // C K CK và A H = C K AH=CK nên A H C K AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). b) Do A H C K AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo A C AC và H K HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I I là trung điểm của H K HK (giả thiết) nên I I là trung điểm của A C AC. Do A B C D ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo A C AC và B D BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I I là trung điểm của A C AC nên I I là trung điểm của B D BD, hay I B = I D IB=ID.

) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF = FC. Suy ra DE = BF. Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD. Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng. Bạn chưa trả lời câu hỏi này. Trả lời câu hỏi

Vì A B C D ABCD là hình bình hành nên ta có: + Hai đường chéo A C AC và B D BD cắt nhau tại O O nên O A = O C OA=OC, O B = O D OB=OD. + A B AB // C D CD nên A M AM // C N CN suy ra O A M ^ = O C N ^ OAM = OCN (hai góc so le trong). Xét Δ O A M ΔOAM và Δ O C N Δ OCN có: $\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên) O A = O C OA=OC (chứng minh trên) A O M ^ = AOM =\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh) Do đó Δ O A M = Δ O C N Δ OAM=Δ OCN (g.c.g). Suy ra A M = C N AM=CN (hai cạnh tương ứng). Mặt khác, A B = C D AB=CD (chứng minh trên); A B = A M + B M AB=AM+BM; C D = C N + D N CD=CN+DN. Suy ra B M = D N BM=DN. Xét tứ giác M B N D MBND có: B M BM // D N DN (vì A B AB // C D CD) B M = D N BM=DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác M B N D MBND là hình bình

) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD. Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = 1 2 2 1 ​ AB, CF = DF = 1 2 2 1 ​ CD Do đó AE = BE = CF = DF. Xét tứ giác AEFD có: AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Xét tứ giác AECF có: AE // CF (vì AB // CD); AE = CF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AECF là hình bình hành. Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD. Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC. Vậy EF = AD, AF = EC.

Bài tập tự luận: Hình chữ nhật Bài 1 Cho tam giác A B C ABC, đường cao A H AH. Gọi I I là trung điểm của A C AC. Lấy D D thuộc tia H I HI sao cho I H = I D IH=ID. Chứng minh tứ giác A H C D AHCD là hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: loading... Ta có I A = I C IA=IC và I H = I D IH=ID. Suy ra A H C D AHCD là hình bình hành do có hai đường chéo A C AC và D H DH cắt nhau tại trung điểm I I. Mà A H C ^ = 9 0 ∘ AHC =90 ∘ suy ra A H C D AHCD là hình chữ nhật. Ta có I A = I C IA=IC và I H = I D IH=ID. Suy ra A H C D AHCD là hình bình hành do có hai đường chéo A C AC và D H DH cắt nhau tại trung điểm I I. Mà A H C ^ = 9 0 ∘ AHC =90 ∘ suy ra A H C D AHCD là hình chữ nhật. Bài 2 Cho hình thang vuông A B C D ABCD có A ^ = D ^ = 90 ∘ A = D =90 ∘ . Gọi M M là trung điểm của A C AC và B M = 1 2 A C BM= 2 1 ​ AC. Chứng minh tứ giác A B C D ABCD là hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: loading... Xét Δ A B C ΔABC có B M BM là đường trung tuyến ứng với cạnh A C AC mà B M = 1 2 A C BM= 2 1 ​ AC suy ra Δ A B C ΔABC vuông tại B B. Tứ giác A B C D ABCD có A ^ = D ^ = B ^ = 90 ∘ A = D = B =90 ∘ Suy ra tứ giác A B C D ABCD là hình chữ nhật. Xét Δ A B C ΔABC có B M BM là đường trung tuyến ứng với cạnh A C AC mà B M = 1 2 A C BM= 2 1 ​ AC suy ra Δ A B C ΔABC vuông tại B B. Tứ giác A B C D ABCD có A ^ = D ^ = B ^ = 90 ∘ A = D = B =90 ∘ Suy ra tứ giác A B C D ABCD là hình chữ nhật. Bài 3 Cho tam giác A B C ABC có đường cao A I AI. Từ A A kẻ tia A x Ax vuông góc với A C AC, từ B B kẻ tia B y By song song với A C AC. Gọi M M là giao điểm của tia A x Ax và tia B y By. Nối M M với trung điểm P P của A B AB, đường M P MP cắt A C AC tại Q Q và B Q BQ cắt A I AI tại H H. a) Tứ giác A M B Q AMBQ là hình gì? b) Chứng minh tam giác P I Q PIQ cân. Hướng dẫn giải: loading... a) Ta có: A x ⊥ A C Ax⊥AC và B y By // A C AC Suy ra A x ⊥ B y Ax⊥By ⇒ A M B ^ = 9 0 ∘ ⇒ AMB =90 ∘ . Xét Δ M A Q ΔMAQ và Δ Q B M ΔQBM có M Q A ^ = B M Q ^ MQA ​ = BMQ ​ (so le trong); M Q MQ là cạnh chung; A M Q ^ = B Q M ^ AMQ ​ = BQM ​ ( A x Ax // Q B QB). Suy ra Δ M A Q = Δ Q B M ΔMAQ= ΔQBM (g-c-g) Suy ra M B Q ^ = M A Q ^ = 9 0 ∘ MBQ ​ = MAQ ​ =90 ∘ (2 góc tương ứng) Xét tứ giác A M B Q AMBQ có: Q A M ^ = A M B ^ = M B Q ^ = 9 0 ∘ QAM ​ = AMB = MBQ ​ =90 ∘ Suy ra tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. b) Do tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. Mà P P là trung điểm AB n e ^ n n e ^ nPQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1) Xét Δ A I B ΔAIB vuông tại I I và có I P IP là đường trung tuyến. Suy ra I P = 1 2 A B IP= 2 1 ​ AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ Q P = I P ⇒ Δ P Q I ⇒QP=IP⇒ΔPQI cân tại P P.

Xét Δ A B C ΔABC có B M BM là đường trung tuyến ứng với cạnh A C AC mà B M = 1 2 A C BM= 2 1 ​ AC suy ra Δ A B C ΔABC vuông tại B B. Tứ giác A B C D ABCD có A ^ = D ^ = B ^ = 90 ∘ A = D = B =90 ∘ Suy ra tứ giác A B C D ABCD là hình chữ nhật.

Ta có I A = I C IA=IC và I H = I D IH=ID. Suy ra A H C D AHCD là hình bình hành do có hai đường chéo A C AC và D H DH cắt nhau tại trung điểm I I. Mà A H C ^ = 9 0 ∘ AHC =90 ∘ suy ra A H C D AHCD là hình chữ nhật.