a) Vì AH , CK vuông góc với BG ( giả thiết)

Suy ra AH // CK

Vì ABCD là hình bình hành ( giả thiết )

Suy ra AD = BC ; AD // BC

Xét tam giác ADH và tam giác CBK ta có :

Góc AHD = góc CKB = 90 độ ( giả thiết)

AD = BC ( chứng minh trên)

Góc ADH = góc CBK (do AD // BC )

Suy ra tam giác ADH = tam giác CBK

Suy ra AH = CK ( hai cạnh tương ứng )

Mà AH // CK ( chứng minh trên )

Suy ra AHCK là hình bình hành.

b) vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm.

Mà I là trung điểm của HK .

Suy ra I là trung điểm của AC .

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm .

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID .

a) Vì AH , CK vuông góc với BG ( giả thiết)

Suy ra AH // CK

Vì ABCD là hình bình hành ( giả thiết )

Suy ra AD = BC ; AD // BC

Xét tam giác ADH và tam giác CBK ta có :

Góc AHD = góc CKB = 90 độ ( giả thiết)

AD = BC ( chứng minh trên)

Góc ADH = góc CBK (do AD // BC )

Suy ra tam giác ADH = tam giác CBK

Suy ra AH = CK ( hai cạnh tương ứng )

Mà AH // CK ( chứng minh trên )

Suy ra AHCK là hình bình hành.

b) vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm.

Mà I là trung điểm của HK .

Suy ra I là trung điểm của AC .

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm .

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID .

a) Ta có : tứ giác ABCD là hình bình hành

Suy ra : AD = BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE = DE = BF = CF

Xét tứ giác EBFD có : BF // ED ( BC // AD )

BF = ED ( chứng minh trên )

Suy ra : tứ giác EBFD là hình bình hành .

b) Từ O là trung điểm của BD hay ba điểm B , O , D thẳng hàng

Ta có : tứ giác EBFD là hình bình hành ( chứng minh trên )

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF .

Suy ra : 3 điểm F ;O ;E thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( giả thiết ) nên G là trọng tâm của tam giác ABC . Suy ra GM = GB/2 ; GN = GC/2 ( tính chất trọng tâm của tam giác ) ( 1 )

Mà P là trung điểm của GB ( giả thiết ) nên GP = PB = GB/2. ( 2 )

Q là trung điểm của GC ( giả thiết ) nên GQ = QC = GC/2. ( 3 )

Từ (1),(2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ ( chứng minh trên )

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành .

a ) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD , DC = AB , suy ra AE // DF , AE = 2AB = 2CD = DF .

=> AEFD là hình bình hành .

Tương tự , tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường .

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường .

Vậy ba trung điểm của AF , DE , BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có :

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC , OB = OD .

AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM = góc OCN ( hai góc so le trong ) .

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có :

Góc OAM = góc OCN ( chứng mình trên ) .

OA = OC ( chứng minh trên )

Góc AOM = góc CON ( hai góc đối đỉnh )

Do đó tam giác OAM = tam giác OCN ( g.c.g )

Suy ra AM = CN ( hai cạnh tương ứng )

Mặt khác , AB = CD ( chứng minh trên )

AB = AM + BM ; CD = CN + DN .

Suy ra BM = DN .

Xét tứ giác MBND có :

BM // DN ( vì AB // CD )

BM = DN ( chứng minh trên )

Do đó , tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Đo ABCD là hình bình hành nên AB // CD , AB=CD , từ đó AE // CF , AE = EB=DF=FC. DO đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tương tự , tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau . b) vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF . Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC .