Xét tam giác \triangle ADC: Ta có \hat{D} = 90^\circ. M là trung điểm của cạnh huyền AC. Do đó, DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC. Theo tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có: DM = \frac{1}{2} AC Sử dụng giả thiết: Theo đề bài, ta có: BM = \frac{1}{2} AC So sánh và suy luận: Từ hai kết quả trên, ta có DM = BM. Vì M là trung điểm của đường chéo AC và M cách đều hai điểm B và D (BM = DM), nên M cũng là trung điểm của đường chéo BD. Chứng minh ABCD là hình bình hành: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường. Do đó, ABCD là hình bình hành. Kết luận ABCD là hình chữ nhật: ABCD là hình bình hành và có \hat{D} = 90^\circ (theo giả thiết). Một hình bình hành có một góc vuông thì đó là hình chữ nhật. Do đó, tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Chứng minh AHCD là hình bình hành: I là trung điểm của AC (giả thiết). IH = ID (giả thiết), suy ra I là trung điểm của HD. Vì I là trung điểm của cả AC và HD, nên tứ giác AHCD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành). Chứng minh AHCD có một góc vuông: AH là đường cao của tam giác ABC, suy ra góc AHC = 90 độ Vì AHCD là hình bình hành và có góc AHC = 90 độ, nên AHCD là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật). Vậy, tứ giác AHCD là hình chữ nhật.