a. Tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

Ta có:

Ax vuông góc AC (giả thiết)

By \\ AC (giả thiết)

Mà M thuộc AxB thuộc By

Do đó:

MB\\AC

=> Tứ giác AMBQ có:

Một góc vuông tại A (AM vuông góc MB)

Hai cạnh đối song song (MB\\AC , AQ là phần kéo dài của AC)

Tứ giác có một góc vuông và hai cạnh đối song song là hình chữ nhật

=> AMBQ là hình chữ nhật

b. Vì P là trung điểm của AB và AI là đường cao của tam giác ABC nên:

AI vuông góc BC

Mặt khác, trong hình chữ nhật AMBQ, ta có:

AM vuông góc MB, MB\\ AQ

Suy ra AM là đường cao của hình chữ nhật, đồng thời cũng là trục đối xứng, nên:

Q và B đối xứng nhau qua đường AM

Vì P là trung điểm của AB, mà Q đối xứng với B qua AM, nên tao có:

MP cắt AQ tại Q, với AQ vuông góc AM

PI = PQ,

Suy ra:

Tam giác PIQ cần tại P.

Vì M là trung điểm của AC nên:

AM = MC = 1/2 AC

Theo giả thiết:

BM = 1/2 AC

Từ đó suy ra:

AM = BM

Xét tam giác ABM có AM = BM nên tam giác ABM cân tại M, do đó:

Góc MAB = góc MBA

Mặt khác, vì ABCD là hình thang vuông có góc A = 90° và AD\\ BC nên:

Góc DAB + góc ABC = 180°

Góc ABC =90°

Vậy trong tứ giác ABCD có:

Góc A = góc B = góc D = 90°

Tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng là góc vuông,nên:

Góc C = 90°

Suy ra bốn góc của tứ giác ABCD đều là góc vuông

=> ABCD là hình chữ nhật

Vì AH là đường cao của tam giác ABC

=> AH vuông góc BC (1)

Vì I là trung điểm của AC

=> I nằm trên đoạn nối trung điểm của cạnh và ta có:

AI = IC (2)

Trên tia HI lấy D sao cho IH = ID, do đó H,I,D thẳng hàng và I là trung điểm của đoạn HD

I là trung điểm của HD (3)

Từ (2) và (3) ta thấy: I là trung điểm của cả AC và HD

Vì hai đoạn thẳng AC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn nên:

AC \\ HD và AC = HD (4)

Mặt khác, vì AH là đường cao nên:

AH vuông góc BC

AH vuông góc AC (5)

Từ (4) và (5) ta có:

AC \\ HD

AH \\ AC

Suy ra tứ giác AHCD có một góc vuông và hai cạnh đối song song

=> Tứ giác AHCD là hình chữ nhật