a) Ta có: Ax⊥AC và By // AC

=> Ax⊥By
⇒Góc AMB = 90 độ

Xét ΔMAQ và ΔQBM có

​Góc MQA = góc BQM (so le trong);

MQ là cạnh chung;

Góc AMQ = góc BQM(Ax//QB)

Suy ra ΔMAQ= ΔQBM (g-c-g)

Suy ra góc MBQ = góc MAQ= 90 độ (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác AMBQ có

Góc QAM = góc AMB = góc MBQ = 90 độ

=> tứ giác AMBQ là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

Mà P là trung điểm AB

=>P là trung điểm của MQ; AB = MQ

=> PQ = 1/2 AB (1) 

Xét  tam giác AIB vuông tại I và có IP là đường trung tuyến

=> IP = 1/2 AB(2)

Từ (1) và (2)

=> QP =IP 

=> Tam giác PQI cân tại P

Xét tam giác có:

CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC

Mà BM = 1/2AC(gt)

=> Tam giác ABC vuông tại B

Xét tứ giác ABCD ta có:

Góc DAB = góc ABC = BCD = góc D = 90 độ

=> tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Xét tứ giác AHCD có 

I là trung điểm của đường chéo AC

I là trung điểm của đường chéo HD

Do đó: AHCD là hình bình hành

mà \(\hat{A H C} = 9 0^{0}\)

nên AHCD là hình chữ nhật