Gọi S là biểu thức cần chứng minh.

Ta đặt a = x/y => y/x = 1/2

=> x²/y² = a², y²/x² =1/a²

=> S = 4a²/(1+a²)² + a² + 1/a² >/ 3

a) Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác HBA vuông tại H có:

Góc ABC chung

Góc BAC = Góc BHA = 90°

=> Tam giác ABC ~ tam giác HBA (g.g)

Vì tam giác ABC ~ tam giác HBA có:

AB/BH = BC/AB

=> AB² = BC . BH

b) Xét tam giác EAB có EI là đường trung bình.

Áp dụng định lí đường trung bình và tam giác đồng dạng suy ra:

EI . EB = EH. EA

Gọi x (giờ) là thời gian lúc đi từ A đến B (x≠0).

      Đổi 45 phút = \(\dfrac{3}{4}\) giờ.

      \(x+\dfrac{3}{4}\) là thời gian lúc về từ B đến A.

Quãng đường lúc đi là: 15x

Quãng đường lúc về là: 12\(\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\)

Ta có phương trình sau:

12\(\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\) - 15x = \(\dfrac{3}{4}\)

\(12x+9-15x=\dfrac{3}{4}\)

\(9-3x=\dfrac{3}{4}\)

\(-3x=-\dfrac{33}{4}\)

\(x=\dfrac{11}{4}\)

Quãng đường từ A đến B là: 15 . \(\dfrac{11}{4}\) = 41,25 (km)

Vậy quãng đường từ A đến B là 41,25 km.

a) \(\dfrac{3x+15}{x^2-9}\)+\(\dfrac{1}{x+3}\)-\(\dfrac{2}{x-3}\)

= \(\dfrac{3x+15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{x-3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\dfrac{2x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

=\(\dfrac{3x+15+x-3-2x-6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

=\(\dfrac{2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{2\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{2}{x-3}\)

b) Ta có: A = \(\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{2}{3}\)

⇒\(x-3=3\)

⇒\(x=3+3=6\)

Vậy \(x\) = 6 thỏa mãn A = \(\dfrac{2}{3}\)