Do (I) tiếp xúc với AC tại C nên I ∈ đường thẳng vuông góc với AC tại C

Gọi D’ là giao của đường thẳng vuông góc với AC tại C với OM

Ta có: ∆CMD’ vuông tại M (CM nằm trên đường thẳng tiếp xúc với (O)) (1)

Lại có: (I) qua M và tiếp xúc với AC tại C tức là (I) qua M và C ⇒ IM = IC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ I là trung điểm của CD’ (theo định lí về trung điểm và cạnh huyền của tam giác vuông)

⇒ CD’ là đường kính của (I) do ∆CMD’ vuông tại M (3)

Theo giả thiết: CD là đường kính của (I) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ D ≡ D’ hay 3 điểm O, M, D thẳng hàng (vì D’ ∈ OM)

b) Do CA và CM là 2 tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C ⇒ˆO1=ˆO2⇒O^1=O^2 (theo định lí tiếp tuyến thì OC là phân giác của ˆAOMAOM^ (5)

Mặt khác: CD ⊥ AC và OA ⊥ AC ⇒ CD // OA ⇒ˆC1=ˆO1⇒C^1=O^1 (so le trong) (6)

Từ (5) và (6) ⇒ˆC1=ˆO2⇒C^1=O^2 ⇒ ∆CDO cân tại D

c) Do N ∈ (I) ⇒ ˆCND=90∘CND^=90∘ (CN ⊥ ND)

Mặt khác: N ∈ OC ⇒ N là chân đường vuông góc từ D xuống OC

Mà ∆CDO cân tại D nên DN đồng thời là đường trung tuyến ⇒ NC = NO

Gọi (d) là đường thẳng qua N và vuông góc với AB

Gọi H là giao điểm của (d) và AB ⇒ NH ⊥ AB

Xét ∆ACO và ∆HNO có ˆCAO=ˆNHO=90∘CAO^=NHO^=90∘, ˆO1O^1 là góc chung

⇒ ∆ACO đồng dạng với ∆HNO (góc – góc)

⇒ ONOC=OHOA=12ONOC=OHOA=12 (do NO = NC)

⇒ H là trung điểm của OA (là điểm cố định do OA cố định)

Vậy khi M thay đổi thì đường thẳng qua N vuông góc với AB luôn đi qua điểm cố định H.