Gọi cạnh đáy, chiều cao của hình vuông lần lượt là: \(x\) (dm); \(h\) (dm), \(\left(\right. x ; y > 0 \left.\right)\)

Ta có thể tích của hình hộp chữ nhật là: \(V = x^{2} . h = 8\)

Suy ra \(h = \frac{8}{x^{2}}\)

\(S_{t p} = 2 x^{2} + 4 x h = 2 x^{2} + 4 x . \frac{8}{x^{2}} = 2 x^{2} + \frac{32}{x}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta được:

\(S_{t p} = 2 x^{2} + \frac{32}{x} = 2 x^{2} + \frac{16}{x} + \frac{16}{x} \geq 3. \sqrt[3]{2 x^{2} . \frac{16}{x} . \frac{16}{x}} = 24\)

Dấu "=" xảy ra khi \(2 x^{2} = \frac{16}{x}\)

\(x = 2\) (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh đáy của hình hộp muốn thiết kế là: \(2\) dm.

Theo mẫu 1:

Vì đáy bể là hình vuông có độ dài đường chéo là \(4\) m nên diện tích đáy bể là: \(S_{1} = 4.4 : 2 = 8\) m²

Thể tích của bể theo mẫu 1 là: \(V_{1} = S_{1} . h_{1} = 8.2 = 16\) m³

Theo mẫu 2:

Bán kính đáy bể hình trụ là: \(R = d : 2 = 4 : 2 = 2\) m

Thể tích của bể theo mẫu 2 là: \(V_{2} = \pi . R^{2} . h_{2} = \pi 2^{2} . 2 \approx 25 , 13\) m³

Vì \(V_{2} > V_{1}\) nên người đó nên chọn xây theo mẫu thiết kế số 2 để có được bể dự trữ nước là nhiều nhất.

Gọi số xe theo dự định là \(x\) chiếc (\(x \in \mathbb{N}^{*}\))

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{120}{x}\) - \(\frac{120}{x + 5} = 2\)

Biến đổi đưa về phương trình: \(x^{2} + 5 x - 300 = 0\)

Giải phương trình được \(x_{1} = 15\), \(x_{2} = - 20\)

\(x = - 20\) không thỏa mãn (loại)

\(x = 15\) (thỏa mãn)

Vậy số xe ban đầu là \(15\) xe.

a) Thay \(x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\)

\(A = \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{6}\)

Vậy với \(x = \frac{1}{4}\) thì giá trị của biểu thức \(A = \frac{1}{6}\)

Xét biến cố \(A\): "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho \(3\)".

Ta có các trường hợp thuận lợi để biến cố \(A\) xảy ra là : \(3\); \(6\).

Vậy \(n \left(\right. A \left.\right) = 2\)

Suy ra xác suất của biến cố \(A\) là \(P \left(\right. A \left.\right) = \frac{n \left(\right. A \left.\right)}{n_{P}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[\right. 60 ; 70 \left.\right)\) là \(f_{\left[\right. 60 ; 70 \left.\right)} = \frac{n_{\left[\right. 60 ; 70 \left.\right)}}{N} = \frac{10}{40} . 100 \% = 25 \%\).