• • a ) Vì ABCD là hình bình hành nên:
  • • AB song song với CD (AB // CD)
    • AB = CD (tính chất cạnh đối hình bình hành)
  • Vì B là trung điểm của AE nên AB = BE, suy ra AE = 2AB.
  • Vì C là trung điểm của DF nên DC = CF, suy ra DF = 2CD.
  • Do đó:
  • • AE = 2AB = 2CD = DF
    • AE // CD (vì AB // CD) hay AE // DF
  • Tứ giác AEFD có AE // DF và AE = DF, nên AEFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
• Chứng minh tứ giác ABFC là hình bình hành:
• • Vì ABCD là hình bình hành nên:
  • • AB song song với CD (AB // CD)
    • AB = CD (tính chất cạnh đối hình bình hành)
  • Vì C là trung điểm của DF nên CD = CF.
  • Do đó:
  • • AB = CD = CF
    • AB // CD hay AB // CF
  • Tứ giác ABFC có AB // CF và AB = CF, nên ABFC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

b) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AF, DE, BC. Ta sẽ chứng minh I, J, K là cùng một điểm.

• Chứng minh IJ song song với AD và IJ = \(\frac{1}{2}\)AD:
• • Xét tam giác ADF có I là trung điểm AF, J là trung điểm của DE.
  • Theo tính chất đường trung bình của tam giác, IJ song song với AD và IJ = \(\frac{1}{2}\)AD.
• Chứng minh JK song song với AD và JK = \(\frac{1}{2}\)AD:
• • Vì ABFC là hình bình hành (chứng minh trên), nên AF // BC và AF = BC.
  • Vì I là trung điểm của AF, K là trung điểm của BC, nên AI = \(\frac{1}{2}\)AF và BK = \(\frac{1}{2}\)BC.
  • Do đó AI = BK.
  • Xét tứ giác AIKB có AI // BK và AI = BK, nên AIKB là hình bình hành.
  • Suy ra IK // AB và IK = AB.
  • Mà AB // CD và AB = CD (tính chất hình bình hành ABCD), nên IK // CD và IK = CD.
  • Vì AEFD là hình bình hành (chứng minh trên) nên AE // DF và AE = DF.
  • Vì J là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC nên DJ = \(\frac{1}{2}\)DE và CK = \(\frac{1}{2}\)CF.
  • Do đó:
  • • DJ = \(\frac{1}{2}\)DE = \(\frac{1}{2}\)AE
    • CK = \(\frac{1}{2}\)CF = \(\frac{1}{2}\)DF
  • Suy ra DJ = CK.
  • Xét tứ giác DJCK có DJ // CK và DJ = CK, nên DJCK là hình bình hành.
  • Suy ra JK // DC và JK = DC.
  • Do đó JK // AB và JK = AB.
  • Mà AB // AD nên JK // AD.
  • Vì JK // AD và JK = AB = CD, IJ // AD và IJ = CD, nên JK // IJ và JK = IJ.
  • Mà J nằm trên DE, K nằm trên BC và cả hai song song với AD, nên J, K, AD cùng nằm trên một đường thẳng.
  • Xét tứ giác IJKD có:
  • • IJ // AD, JK // AD
    • IJ = JK = \(\frac{1}{2}\)AD
  • Vì IJ song song AD và JK song song AD, nên I, J, K thẳng hàng.
  • Vì IJ = \(\frac{1}{2}\)AD và JK = \(\frac{1}{2}\)AD, nên IJ = JK.
  • Vậy I, J, K trùng nhau (cùng nằm trên một đường thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó).

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

• • a ) Vì ABCD là hình bình hành nên:
  • • AB song song với CD (AB // CD)
    • AB = CD (tính chất cạnh đối hình bình hành)
  • Vì B là trung điểm của AE nên AB = BE, suy ra AE = 2AB.
  • Vì C là trung điểm của DF nên DC = CF, suy ra DF = 2CD.
  • Do đó:
  • • AE = 2AB = 2CD = DF
    • AE // CD (vì AB // CD) hay AE // DF
  • Tứ giác AEFD có AE // DF và AE = DF, nên AEFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
• Chứng minh tứ giác ABFC là hình bình hành:
• • Vì ABCD là hình bình hành nên:
  • • AB song song với CD (AB // CD)
    • AB = CD (tính chất cạnh đối hình bình hành)
  • Vì C là trung điểm của DF nên CD = CF.
  • Do đó:
  • • AB = CD = CF
    • AB // CD hay AB // CF
  • Tứ giác ABFC có AB // CF và AB = CF, nên ABFC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

b) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AF, DE, BC. Ta sẽ chứng minh I, J, K là cùng một điểm.

• Chứng minh IJ song song với AD và IJ = \(\frac{1}{2}\)AD:
• • Xét tam giác ADF có I là trung điểm AF, J là trung điểm của DE.
  • Theo tính chất đường trung bình của tam giác, IJ song song với AD và IJ = \(\frac{1}{2}\)AD.
• Chứng minh JK song song với AD và JK = \(\frac{1}{2}\)AD:
• • Vì ABFC là hình bình hành (chứng minh trên), nên AF // BC và AF = BC.
  • Vì I là trung điểm của AF, K là trung điểm của BC, nên AI = \(\frac{1}{2}\)AF và BK = \(\frac{1}{2}\)BC.
  • Do đó AI = BK.
  • Xét tứ giác AIKB có AI // BK và AI = BK, nên AIKB là hình bình hành.
  • Suy ra IK // AB và IK = AB.
  • Mà AB // CD và AB = CD (tính chất hình bình hành ABCD), nên IK // CD và IK = CD.
  • Vì AEFD là hình bình hành (chứng minh trên) nên AE // DF và AE = DF.
  • Vì J là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC nên DJ = \(\frac{1}{2}\)DE và CK = \(\frac{1}{2}\)CF.
  • Do đó:
  • • DJ = \(\frac{1}{2}\)DE = \(\frac{1}{2}\)AE
    • CK = \(\frac{1}{2}\)CF = \(\frac{1}{2}\)DF
  • Suy ra DJ = CK.
  • Xét tứ giác DJCK có DJ // CK và DJ = CK, nên DJCK là hình bình hành.
  • Suy ra JK // DC và JK = DC.
  • Do đó JK // AB và JK = AB.
  • Mà AB // AD nên JK // AD.
  • Vì JK // AD và JK = AB = CD, IJ // AD và IJ = CD, nên JK // IJ và JK = IJ.
  • Mà J nằm trên DE, K nằm trên BC và cả hai song song với AD, nên J, K, AD cùng nằm trên một đường thẳng.
  • Xét tứ giác IJKD có:
  • • IJ // AD, JK // AD
    • IJ = JK = \(\frac{1}{2}\)AD
  • Vì IJ song song AD và JK song song AD, nên I, J, K thẳng hàng.
  • Vì IJ = \(\frac{1}{2}\)AD và JK = \(\frac{1}{2}\)AD, nên IJ = JK.
  • Vậy I, J, K trùng nhau (cùng nằm trên một đường thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó).

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

• Vì ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, nên:
• • OA = OC (tính chất hai đường chéo của hình bình hành)
  • \(\angle O A M = \angle O C N\) (hai góc so le trong, vì AB // CD)
  • Xét \(\triangle O A M\) và \(\triangle O C N\):
    Vậy \(\triangle O A M = \triangle O C N\) (g.c.g)
  • OA = OC (chứng minh trên)
  • \(\angle O A M = \angle O C N\) (chứng minh trên)
  • \(\angle A O M = \angle C O N\) (hai góc đối đỉnh)
  • Vì \(\triangle O A M = \triangle O C N\) (chứng minh trên)
    => AM = CN (hai cạnh tương ứng)
  • Ta có:
  • • AB = CD (tính chất hình bình hành ABCD)
    • AM = CN (chứng minh trên) => AB - AM = CD - CN => MB = DN
  • Vì ABCD là hình bình hành, nên AB // CD
    => MB // DN
  • Xét tứ giác MBND có:
    => Tứ giác MBND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
  • • MB // DN
    • MB = DN

a) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có các tính chất sau:

• AB // CD (hai cạnh đối của hình bình hành song song).
• AB = CD (hai cạnh đối của hình bình hành bằng nhau).

E là trung điểm của AB \(\Rightarrow\) AE = \(\frac{1}{2}\)AB.
F là trung điểm của CD \(\Rightarrow\) DF = \(\frac{1}{2}\)CD.

Từ AB = CD, ta suy ra \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)CD, hay AE = DF.
Từ AB // CD, ta suy ra AE // DF (vì E thuộc AB, F thuộc CD).

Xét tứ giác AEFD, ta thấy có cặp cạnh đối AE và DF song song và bằng nhau (\(A E / / D F\) và \(A E = D F\)).
Do đó, tứ giác AEFD là hình bình hành.Tương tự như trên, ta có:

• AB // CD \(\Rightarrow\) AE // CF (vì E thuộc AB, F thuộc CD).
• AB = CD.

E là trung điểm của AB \(\Rightarrow\) AE = \(\frac{1}{2}\)AB.
F là trung điểm của CD \(\Rightarrow\) CF = \(\frac{1}{2}\)CD.

Từ AB = CD, ta suy ra \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)CD, hay AE = CF.

Xét tứ giác AECF, ta thấy có cặp cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau (\(A E / / C F\) và \(A E = C F\)).
Do đó, tứ giác AECF là hình bình hành.
b) Do AECF là hình bình hành ( chứng minh trên )

⇒EF=AD
⇒ AF=EC