Xét các đoạn thẳng:

• Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\), nên \(\overset{⃗}{A E} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B}\)
• Vì \(F\) là trung điểm của \(C D\), nên \(\overset{⃗}{D F} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{D C} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B}\) (vì \(A B \parallel D C\), và cùng chiều hoặc ngược chiều tùy cách vẽ, nhưng độ dài bằng nhau)

\(\Rightarrow \overset{⃗}{A E} = \overset{⃗}{D F}\)

\(\Rightarrow A E \parallel D F\) và \(A E = D F\)

Tương tự, xét:

• \(\overset{⃗}{A F} , \overset{⃗}{E D}\): ta cũng có thể chứng minh \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{E D}\)

Từ đó, ta suy ra tứ giác \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau ⇒ là hình bình hành.

Tứ giác AECF

• \(E\) là trung điểm của \(A B\), \(F\) là trung điểm của \(C D\)
• Vì \(A B \parallel C D\), nên đoạn nối trung điểm \(E F\) sẽ song song và bằng nửa đoạn \(A D\) (theo định lý trung điểm trong hình thang hoặc tam giác).

Ta xét hai đoạn thẳng:

• \(\overset{⃗}{A F} , \overset{⃗}{E C}\)

Ta chứng minh rằng \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{E C}\):

• \(F\) là trung điểm \(C D\), nên \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{A D} + \overset{⃗}{D F} = \overset{⃗}{A D} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{D C}\)
• \(E\) là trung điểm \(A B\), nên \(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{E B} + \overset{⃗}{B C} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{B A} + \overset{⃗}{B C} = - \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B C}\)

Dùng tính chất của hình bình hành: \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{D C}\), \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{B C}\)

⇒ \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{A D} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{B C} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B}\)

⇒ \(\overset{⃗}{E C} = - \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{B C} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B}\)

Hai vector này đối nhau? Không, nhưng dễ thấy:

• \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{E C}\) (cùng độ dài và hướng) ⇒ AF = EC, AF // EC

Từ đó ⇒ tứ giác AECF có hai cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ là hình bình hành.

b) Chứng minh EF = AD, và AF = EC

EF = AD

• \(E\), \(F\) là trung điểm của \(A B\) và \(C D\)
• \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ \(A B \parallel C D\), \(A D \parallel B C\)

Xét tam giác \(A B D\):

• \(E\) là trung điểm của \(A B\), \(F\) là trung điểm của \(C D\)

Suy ra: đoạn nối hai trung điểm \(E , F\) trong hai cạnh song song ⇒ đoạn \(E F \parallel A D\), và \(E F = A D\)

(Đây là hệ quả của định lý trung điểm trong hình học – đường nối trung điểm của hai cạnh trong hình bình hành song song và bằng cạnh còn lại)

AF = EC

Từ phần trên đã chỉ ra trong hình bình hành AECF thì:

• \(A F = E C\), do hai đoạn là hai cạnh đối trong hình bình hành ⇒ bằng nhau.