Bài 4: (1 điểm)

Cho biểu thức:

\(B = x^{2} - 4 x + 9\)

Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất của \(B\).

Đây là một biểu thức bậc 2 theo \(x\). Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức bậc 2, ta có thể biến đổi nó thành dạng "hoàn chỉnh bình phương".

1. Biến đổi thành dạng bình phương hoàn chỉnh:

Ta có thể viết lại \(x^{2} - 4 x\) dưới dạng bình phương hoàn chỉnh như sau:

\(x^{2} - 4 x = \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} - 4\)

Vậy:

\(B = \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} - 4 + 9 = \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} + 5\)

1. Xác định giá trị lớn nhất của \(B\):

Biểu thức \(\left(\right. x - 2 \left.\right)^{2}\) luôn không âm (\(\left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} \geq 0\)) vì là bình phương của một số. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(\left(\right. x - 2 \left.\right)^{2}\) là 0, và khi đó:

\(B = 0 + 5 = 5.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) là \(5\), không phải giá trị lớn nhất. Do đó, biểu thức này không có giá trị lớn nhất vì \(\left(\right. x - 2 \left.\right)^{2}\) có thể tăng vô hạn khi \(x\) thay đổi.

Kết luận:

• Giá trị nhỏ nhất của \(B\) là 5 khi \(x = 2\).
• Không có giá trị lớn nhất vì biểu thức có thể trở nên vô cùng lớn khi \(x\) tiến đến vô cùng.

Bài 2: (3 điểm)

Cho biểu thức:

\(A = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} , \text{v}ớ\text{i} x \neq \pm 1.\)

a) Rút gọn biểu thức \(A\):

Đầu tiên, ta cần phân tích tử và mẫu của biểu thức.

• Tử: \(x^{2} - 1\) là một hằng đẳng thức nổi tiếng:

\(x^{2} - 1 = \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)\)

• Mẫu: \(x^{2} - 2 x + 1\) cũng là một hằng đẳng thức:

\(x^{2} - 2 x + 1 = \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2}\)

Vậy biểu thức \(A\) trở thành:

\(A = \frac{\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)}{\left(\right. x - 1 \left.\right)^{2}}\)

Với \(x \neq 1\) (vì \(x = 1\) sẽ làm mẫu bằng 0), ta có thể rút gọn \(\left(\right. x - 1 \left.\right)\) trong tử và mẫu:

\(A = \frac{x + 1}{x - 1} , \text{v}ớ\text{i} x \neq 1.\)

b) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 3\) và \(x = - \frac{2}{3}\):

1. Khi \(x = 3\):

\(A = \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2.\)

Vậy \(A = 2\) khi \(x = 3\).

1. Khi \(x = - \frac{2}{3}\):

\(A = \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{- \frac{2}{3} + 1}{- \frac{2}{3} - 1} = \frac{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}{- \frac{2}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{5}{3}} = \frac{1}{- 5} = - \frac{1}{5} .\)

Vậy \(A = - \frac{1}{5}\) khi \(x = - \frac{2}{3}\).

c) Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) để biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên:

Biểu thức \(A = \frac{x + 1}{x - 1}\). Để \(A\) là một số nguyên, ta cần \(\frac{x + 1}{x - 1}\) phải là một số nguyên, nghĩa là \(x + 1\) phải chia hết cho \(x - 1\).

Gọi:

\(A = \frac{x + 1}{x - 1} = k \text{v}ớ\text{i} k \in \mathbb{Z} .\)

Suy ra:

\(x + 1 = k \left(\right. x - 1 \left.\right) .\)

Giải phương trình này:

\(x + 1 = k x - k \Rightarrow x - k x = - k - 1 \Rightarrow x \left(\right. 1 - k \left.\right) = - k - 1.\)

Vậy:

\(x = \frac{- k - 1}{1 - k} .\)

Để \(x\) là số nguyên, mẫu \(1 - k\) phải chia hết cho \(- k - 1\). Thử một vài giá trị của \(k\) để tìm các giá trị \(x\):

• Nếu \(k = 0\): \(x = \frac{- 0 - 1}{1 - 0} = - 1\).
• Nếu \(k = 1\): \(x = \frac{- 1 - 1}{1 - 1}\) (không xác định vì mẫu = 0).
• Nếu \(k = - 1\): \(x = \frac{- \left(\right. - 1 \left.\right) - 1}{1 - \left(\right. - 1 \left.\right)} = \frac{1 - 1}{2} = 0\).
• Nếu \(k = 2\): \(x = \frac{- \left(\right. 2 \left.\right) - 1}{1 - 2} = \frac{- 3}{- 1} = 3\).
• Nếu \(k = - 2\): \(x = \frac{- \left(\right. - 2 \left.\right) - 1}{1 - \left(\right. - 2 \left.\right)} = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}\) (không phải số nguyên).

Do đó, các giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(A\) nhận giá trị nguyên là \(x = - 1 , 0 , 3\).

Kết luận:

a) Biểu thức rút gọn là \(A = \frac{x + 1}{x - 1}\).

b) Giá trị của \(A\) khi \(x = 3\) là \(2\) và khi \(x = - \frac{2}{3}\) là \(- \frac{1}{5}\).

c) Các giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(A\) nhận giá trị nguyên là \(x = - 1 , 0 , 3\).

Bài 3: (2 điểm)

Cho \(\Delta M N P\) vuông tại \(M\) và có đường cao \(M K\).

a) Chứng minh \(\Delta K N M sim \Delta M N P\) và \(\Delta K N M sim \Delta K M P\):

Chứng minh 1: \(\Delta K N M sim \Delta M N P\)

Ta có:

• \(\Delta M N P\) vuông tại \(M\) (\(\angle M = 90^{\circ}\)).
• \(M K\) là đường cao của \(\Delta M N P\), vì vậy \(M K \bot N P\).

Do đó, ta có các góc sau:

• \(\angle K N M = \angle M N P\) (Góc vuông giữa \(M K\) và \(N P\), nên góc này bằng góc vuông tại \(M\) của tam giác vuông \(\Delta M N P\)).
• \(\angle K N M = \angle M P N\) (Cùng là góc ở đỉnh \(N\)).

Vậy ta có \(\Delta K N M sim \Delta M N P\) theo định lý góc-góc (góc-góc vuông).

Chứng minh 2: \(\Delta K N M sim \Delta K M P\)

• \(\Delta M N P\) vuông tại \(M\), và ta có \(M K\) là đường cao của tam giác này.
• Xét tam giác \(\Delta K M P\): Ta thấy rằng \(\angle K M P = \angle K N M\) (góc vuông tại \(M\)) và \(\angle M K P = \angle K N P\) (góc đối đỉnh).

Vậy theo định lý góc-góc, ta có \(\Delta K N M sim \Delta K M P\).

b) Chứng minh: \(M K^{2} = N K \cdot K P\):

Vì \(\Delta M N P\) vuông tại \(M\), \(M K\) là đường cao nên theo định lý về đường cao trong tam giác vuông:

\(M K^{2} = N K \cdot K P\)

Đây là định lý về đường cao trong tam giác vuông, với \(M K\) là đường cao hạ từ \(M\) xuống cạnh huyền \(N P\), \(N K\) là đoạn từ \(N\) đến chân đường cao, và \(K P\) là đoạn từ \(K\) đến \(P\).

c) Tính \(M K\) và \(S_{\Delta M N P}\):

Biết \(N K = 4\) cm và \(K P = 9\) cm, ta có:

• Tính \(M K\) theo công thức \(M K^{2} = N K \cdot K P\):

\(M K^{2} = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow M K = \sqrt{36} = 6 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

• Diện tích tam giác vuông \(\Delta M N P\) có công thức:

\(S_{\Delta M N P} = \frac{1}{2} \cdot \text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{huy} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n} \cdot \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao} = \frac{1}{2} \cdot N P \cdot M K\)

Với \(N P\) là cạnh huyền của tam giác vuông, ta tính \(N P\) theo định lý Pythagoras:

\(N P^{2} = M N^{2} + M P^{2}\)

Nhưng ta chưa có giá trị của \(M N\) và \(M P\), vì vậy bạn có thể cần thêm thông tin để tính diện tích cụ thể. Tuy nhiên, với \(M K = 6\) cm, bạn có thể dễ dàng tính diện tích khi có đủ chiều dài các cạnh.

a, 7x +2 = 0
7x = 2
x =2/7
b, 18 - 5x = 7 + 3x
18 - 7 = 5x + 3x
11 = 8x
x = 11/8