Diệp Minh Dương
Giới thiệu về bản thân
Cho đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\) và điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến \(A B , A C\) với đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) (\(B , C\) là các tiếp điểm). Gọi \(M\) là trung điểm \(A B\).
a) Chứng minh tứ giác \(A B O C\) nội tiếp và xác định tâm \(I\) của đường tròn này.
b) Chứng minh rằng \(A M . A O = A B . A I\).
c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(A C M\). Chứng minh \(M G\) // \(B C\).
d) Chứng minh \(I G\) vuông góc với \(C M\).
Cho đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\) và điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến \(A B , A C\) với đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) (\(B , C\) là các tiếp điểm). Gọi \(M\) là trung điểm \(A B\).
a) Chứng minh tứ giác \(A B O C\) nội tiếp và xác định tâm \(I\) của đường tròn này.
b) Chứng minh rằng \(A M . A O = A B . A I\).
c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(A C M\). Chứng minh \(M G\) // \(B C\).
d) Chứng minh \(I G\) vuông góc với \(C M\).
a) Chứng minh \(\angle A B C = \angle C H M\)
Ta có:
- \(A M \bot B C \Rightarrow H M \bot B C\)
- \(C N \bot A B \Rightarrow H C \bot A B\)
Xét góc:
- \(\angle C H M\) là góc tạo bởi \(H C \bot A B\) và \(H M \bot B C\)
⇒ Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai đường vuông góc tương ứng:
\(\angle C H M = \angle A B C\)b) Chứng minh \(\angle A D C = \angle A H C\)
Vì \(A , B , C , D\) nội tiếp nên:
\(\angle A D C = \angle A B C \left(\right. \text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{cung}\&\text{nbsp}; A C \left.\right)\)Mà từ (a):
\(\angle A B C = \angle C H M\)Lại có \(H\) là giao điểm hai đường cao ⇒ \(A H \bot B C\), \(C H \bot A B\)
⇒ \(\angle A H C\) cũng bằng góc tạo bởi \(A B\) và \(B C\)
\(\Rightarrow \angle A H C = \angle A B C\)Suy ra:
\(\angle A D C = \angle A H C\)c) Chứng minh \(\angle M A C = \angle M N C\)
Ta có:
- \(A M \bot B C\), \(C N \bot A B\)
Xét hai góc:
- \(\angle M A C\) là góc giữa \(A M\) và \(A C\)
- \(\angle M N C\) là góc giữa \(M N\) và \(N C\)
Do các cặp đường vuông góc tương ứng nên hai góc này bằng nhau (cùng phụ với góc \(A B C\)):
\(\angle M A C = \angle M N C\)d) Chứng minh \(\angle M A C + 90^{\circ} = \angle A N M\)
Ta có:
- \(C N \bot A B \Rightarrow A N \bot N C\)
- Suy ra tại \(N\), góc \(\angle A N M\) gồm một góc vuông cộng với góc tạo bởi \(A C\) và \(A M\)
Do đó:
\(\angle A N M = \angle M A C + 90^{\circ}\)Kết luận:
- a) \(\angle A B C = \angle C H M\)
- b) \(\angle A D C = \angle A H C\)
- c) \(\angle M A C = \angle M N C\)
- d) \(\angle M A C + 90^{\circ} = \angle A N M\)
a) Chứng minh tứ giác \(B F H D\) nội tiếp
Vì \(E , F\) nằm trên đường tròn đường kính \(B C\) nên:
\(\angle B E C = 90^{\circ} , \angle B F C = 90^{\circ}\)Suy ra:
- \(B E \bot A C\) (vì \(E \in A C\))
- \(C F \bot A B\) (vì \(F \in A B\))
Do đó:
- \(H = B E \cap C F\) là trực tâm tam giác \(A B C\)
⇒ \(A H \bot B C\) ⇒ \(H D \bot B C\)
Xét các góc:
- \(\angle B F H = 90^{\circ}\) (vì \(F H \subset C F \bot A B\), mà \(B F \subset A B\))
- \(\angle B D H = 90^{\circ}\) (vì \(H D \bot B C\), \(B D \subset B C\))
Suy ra:
\(\angle B F H + \angle B D H = 180^{\circ}\)👉 Vậy tứ giác \(B F H D\) nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác \(A B D E\) nội tiếp
Ta có:
- \(E \in A C\), \(F \in A B\) thuộc đường tròn đường kính \(B C\)
⇒:
\(\angle B E C = 90^{\circ} \Rightarrow B E \bot A C\) \(\angle B F C = 90^{\circ} \Rightarrow C F \bot A B\)Suy ra:
- \(B E \bot A C\)
- \(C F \bot A B\)
⇒ \(H\) là trực tâm ⇒ \(A H \bot B C\)
⇒ \(A D \bot B C\)
Xét các góc:
- \(\angle A E B = 90^{\circ}\)
- \(\angle A D B = 90^{\circ}\)
Suy ra:
\(\angle A E B + \angle A D B = 180^{\circ}\)👉 Vậy tứ giác \(A B D E\) nội tiếp.
Kết luận:
- \(B F H D\) nội tiếp
- \(A B D E\) nội tiếp
a) Chứng minh \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp
Xét các góc:
- \(B D \bot A C \Rightarrow \angle B D C = 90^{\circ}\)
- \(C E \bot A B \Rightarrow \angle B E C = 90^{\circ}\)
Suy ra:
\(\angle B D C + \angle B E C = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\)Hai góc đối của tứ giác \(B C D E\) bù nhau nên:
👉 \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp
Xét các góc:
- \(B D \bot A C \Rightarrow D H \subset B D \Rightarrow \angle A D H = 90^{\circ}\)
- \(C E \bot A B \Rightarrow E H \subset C E \Rightarrow \angle A E H = 90^{\circ}\)
Suy ra:
\(\angle A D H + \angle A E H = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\)Hai góc đối của tứ giác \(A D H E\) bù nhau nên:
👉 \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp.
Kết luận:
- \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp
- \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp