z

Diện tích tổng của khung ảnh:

(17 + 2x)(25 + 2x) = 513

425 + 50x + 34x + 4x^2 = 513

4x^2 + 84x - 88 = 0

Giải phương trình bậc hai 4x^2 + 84x - 88 = 0 để tìm x.

x = \frac{-84 \pm \sqrt{7056 + 1408}}{8} = \frac{-84 \pm \sqrt{8464}}{8} = \frac{-84 \pm 92}{8}

x_1 = \frac{-84 + 92}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{-84 - 92}{8} = -22

Chỉ lấy x_1 = 1 vì độ rộng x phải dương.

a)Đường thẳng \Delta: 3x + 4y + 7 = 0 có vector pháp tuyến \mathbf{n_1} = (3,4).

• Đường thẳng \Delta_1: 5x - 12y + 7 = 0 có vector pháp tuyến \mathbf{n_2} = (5,-12).

Công thức cos góc giữa hai đường thẳng:

\cos \alpha = \frac{| \mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} |}{\| \mathbf{n_1} \| \| \mathbf{n_2} \|}

\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = 3(5) + 4(-12) = 15 - 48 = -33

\|\mathbf{n_1}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5, \quad \|\mathbf{n_2}\| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = 13

\cos \alpha = \frac{| -33 |}{5 \times 13} = \frac{33}{65}

b)

Ta có phương trình đường thẳng \Delta: 3x + 4y + 7 = 0, hệ số góc của nó là k_{\Delta} = -\frac{3}{4}. Đường thẳng cần tìm vuông góc với \Delta nên có hệ số góc k = \frac{4}{3}, suy ra phương trình dạng:

y = \frac{4}{3}x + c

Đường tròn C: (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 36 có tâm I(3, -2) và bán kính R = 6. Khoảng cách từ I(3, -2) đến đường thẳng phải bằng 6:

d = \frac{|4(3) - 3(-2) + 3c|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 6 + 3c|}{5} = \frac{|18 + 3c|}{5}

Theo điều kiện tiếp xúc:

\frac{|18 + 3c|}{5} = 6

|18 + 3c| = 30

Giải hai trường hợp:

1. 18 + 3c = 30 \Rightarrow 3c = 12 \Rightarrow c = 4

2. 18 + 3c = -30 \Rightarrow 3c = -48 \Rightarrow c = -16

Vậy hai phương trình đường thẳng cần tìm là:

y = \frac{4}{3}x + 4 \quad \text{hoặc} \quad y = \frac{4}{3}x - 16

a)Đường thẳng \Delta: 3x + 4y + 7 = 0 có vector pháp tuyến \mathbf{n_1} = (3,4).

• Đường thẳng \Delta_1: 5x - 12y + 7 = 0 có vector pháp tuyến \mathbf{n_2} = (5,-12).

Công thức cos góc giữa hai đường thẳng:

\cos \alpha = \frac{| \mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} |}{\| \mathbf{n_1} \| \| \mathbf{n_2} \|}

\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = 3(5) + 4(-12) = 15 - 48 = -33

\|\mathbf{n_1}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5, \quad \|\mathbf{n_2}\| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = 13

\cos \alpha = \frac{| -33 |}{5 \times 13} = \frac{33}{65}

b)

Ta có phương trình đường thẳng \Delta: 3x + 4y + 7 = 0, hệ số góc của nó là k_{\Delta} = -\frac{3}{4}. Đường thẳng cần tìm vuông góc với \Delta nên có hệ số góc k = \frac{4}{3}, suy ra phương trình dạng:

y = \frac{4}{3}x + c

Đường tròn C: (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 36 có tâm I(3, -2) và bán kính R = 6. Khoảng cách từ I(3, -2) đến đường thẳng phải bằng 6:

d = \frac{|4(3) - 3(-2) + 3c|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 6 + 3c|}{5} = \frac{|18 + 3c|}{5}

Theo điều kiện tiếp xúc:

\frac{|18 + 3c|}{5} = 6

|18 + 3c| = 30

Giải hai trường hợp:

1. 18 + 3c = 30 \Rightarrow 3c = 12 \Rightarrow c = 4

2. 18 + 3c = -30 \Rightarrow 3c = -48 \Rightarrow c = -16

Vậy hai phương trình đường thẳng cần tìm là:

y = \frac{4}{3}x + 4 \quad \text{hoặc} \quad y = \frac{4}{3}x - 16

a)

\Delta = (m - 1)^2 - 4(m + 5)

= m^2 - 2m + 1 - 4m - 20 = m^2 - 6m - 19

Để f(x) luôn dương:

m^2 - 6m - 19 < 0

Giải bất phương trình bằng cách tìm nghiệm phương trình m^2 - 6m - 19 = 0:

m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 76}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{7}

Bất phương trình m^2 - 6m - 19 < 0 đúng khi:

3 - 2\sqrt{7} < m < 3 + 2\sqrt{7}

b)

Điều kiện xác định:

2x^2 - 8x + 4 \geq 0 \quad \text{và} \quad x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2

Bình phương hai vế:

2x^2 - 8x + 4 = (x - 2)^2

2x^2 - 8x + 4 = x^2 - 4x + 4

x^2 - 4x = 0

x(x - 4) = 0

Nghiệm: x = 0 hoặc x = 4, nhưng do x \geq 2, nên chỉ lấy x = 4.