a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D\) // \(B C\) và \(A D = B C\).

Do \(A D\) // \(B C\) nên \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\) (so le trong)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     \(\hat{A H D} \&\text{nbsp}; = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

     \(\hat{A D H} \&\text{nbsp}; = \hat{C B K}\) (do \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\)).

Do đó \(\Delta \&\text{nbsp}; A D H = \Delta \&\text{nbsp}; C B K\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(A H \bot \&\text{nbsp}; D B\) và \(C K \bot \&\text{nbsp}; D B\) nên \(A H\) // \(C K\).

Tứ giác \(A H C K\) có \(A H\) // \(C K\) và \(A H = C K\)nên \(A H C K\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do \(A H C K\) là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) (giả thiết) nên \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\)và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\).

Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\) (giả thiết) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta A B C\).

Suy ra \(G M = \frac{G B}{2}\); \(G N = \frac{G C}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà \(P\) là trung điểm của \(G B\) (giả thiết) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(Q\) là trung điểm của \(G C\) (giả thiết) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(G M = G P\) và \(G N = G Q\).

Xét tứ giác \(P Q M N\) có: \(G M = G P\) và \(G N = G Q\) (chứng minh trên)

Do đó tứ giác \(P Q M N\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường nên là hình bình hành.

A)Cho hình bình hành ABCD

B là trung điểm của AE ,suy ra AB = BE

C là trung điểm của DF, suy ra DC=CF

Do ABCD là hình bình hành nên:AB=DC và AD=BC

Xét tứ giác AEFD có:

B là trung điểm của AE

nên AE=2AB.

ABCD là hình bình hành nên DC=AB.

C là trung điểm của DF

nên DF=2DC.

Từ đó suy ra

AE=2AB=2DC=DF.

Vì AE=DF.

nên tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC là hbh:

Ta có AB bằng DC(do ABCD là hình bình hành)

C là trung điểm của DF nên CF=DC

Từ đó suy ra AB =CF

Vì AB=CF. nên tứ giác ABFC là hình bình hành.

B)Gọi O là trung điểm của BC. Vì ABFC là hình bình hành nên hai đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O cũng là trung điểm của AF.

Vì AEFD là hình bình hành nên hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O cũng là trung điểm của DE. Vậy, các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Ta có :

𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD. Suy ra OA=OC

AB//CD (tính chất hình bình hành) Ta có các cặp góc so le trong bằng nhau:

∠𝑂𝐴𝑀=∠𝑂𝐶𝑁

do M thuộc tập hợp AB, N thuộc tập hợp CD

∠AOM=∠CON (hai góc đối đỉnh)

∠𝑂𝐴𝑀=∠𝑂𝐶𝑁 (chứng minh trên)

∠AOM=∠CON (chứng minh trên) Vậy tam giác OAM=tam giác OCN (g.c.g).

Vì tam giác OAM =tam giác OCN(cmt). NênOM=ON(hai cạnh tương ứng)

Ta có O trung điểm của MN

Vì O giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD nên O cũng là trung điểm của BD

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường

=> giác MBND là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

AB // CD suy ra AE // DF và AE // FC

AB=CD

Vì E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên:

AE= EB= 1/2AB

DF=FC=1/2CD

DoAB=CD nên AE=DF vàAE =FC

Xét tứ giác AEFD, ta có:

AE//DF (chứng minh trên)

AE=DF (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành. Xét tứ giác AECF, ta có:

AE//FC (chứng minh trên)

AE=FC (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AECF là hình bình hành

Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên các cặp cạnh đối bằng nhau. Do đó, EF=AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên các cặp cạnh đối bằng nhau. Do đó, AF=EC.