a) Xét : \(\Delta A D H v \overset{ˋ}{a} \Delta C B K\) có :

              góc : AHD = góc : CKB ( = 90 độ )

             AD=BC ( ABCD là hình bình hành )

            góc ADH = góc CBK ( 2 góc ở vị trí so le trong )

Do đó : \(\Delta A D H = \Delta C B K \left(\right. c . h - g . n \left.\right)\)

\(\Rightarrow A H = C K\)

Xét tứ giác AHCK có :

AH//CK (cmt)

AH=CK (cmt)

Suy ra : tứ giác AHCK là hình bình hành

b) Từ a) suy ra AHCK là hình bình hành

Suy ra : AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK.

Suy ra : I cũng là trung điểm của AC.

Ta có : ABCD là hình bình hành

Suy ra : AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường .

Mà I là trung điểm của AC.

Suy ra : I cũng là trung điểm của BD.

Suy ra : IB=ID.

a) ABCD là hình bình hành nên

AD = BC: AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên

AE = ED

F là trung điểm của BC nên

BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có

DE // BF (do AD // BC)

DE = BF (gt)

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tg ABG có:

NA=NC

PB=PG

suy ra : PN là đường trung bình của tg ABG

\(\) suy ra : PN = 1/2 AG

Nên: PN//AG (2)

Xét tứ giác ACG có :

MA=MC

QC=QG

suy ra : QN là đường trung bình của tứ giắc ACG

\(\) suy ra :QM = 1/2 AG (3)

nên: QM//AG (4)

Từ (2) và (4) => PN//QM

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow P N = Q M = \frac{1}{2} A G\)

=> PQMN là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành

nên: AB = CD; AB // CD

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm của AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF

Tứ giác AEFD có

AE // DF (vì AB // CD)

AE = DF (cmt)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có :

AB // CF (vì AB // CD)

AB = CF (cmt)

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Xét tg OAM và tg OCN có

BAC=ACD (góc so le trong)

OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

AOM=CON (góc đối đỉnh)

suy ra tứ giác OAM = tứ giác OCN (g.c.g)

=> AM=CN

Ta có

AB=CD (cạnh đối hình bình hành)

nên: AB-AM=CD-CN

suy ra : MB=ND (1)

Ta có

AB//CD (cạnh đối hình bình hành)

suy ra : MB//ND (2)

Từ (1) và (2) suy ra MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên

AB = CD (gt)

AB // CD (gt)

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD

nên AE = BE = \(\frac{1}{2}\)AB, CF = DF = \(\frac{1}{2}\)CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (cmt)

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (cmt)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành

nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành

nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.