a) Vì ABCD là hbh

nên góc A = góc C

Xét tam giác AHD và tam giác CKB có:

góc AHD = góc CKB = 90 độ

AD = CB ( tc hbh )

góc ADH = góc CKB ( SLT )

=> Tam giác AHD = tam giác CKB ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> AH = CK ( hai cạnh tương ứng )
Vì AH vuông góc với BD và CK vuông góc với BD nên AH // CK

Tứ giác AHCK có AH // CK nên là hbh ( dhnb )

b) Gọi O Là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hbh nên O Là trung điểm của AC và BD

Vì AHCK là hbh nên AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà I là trung điểm của HK nên I cũng là trung điểm của AC

=> O và I trùng nhau

vậy I là trung điểm của BD

=> IB = ID

a) Vì ABCD là hbh cặp

=> AD // BC

=> AD = BC

Do E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, ta có :

AE = 1/2 AD

CF = 1/2 BC

Vì AD = BC nên AE = CF

Mà AD // BC nên ED // BF và ED = 1/2 AD = 1/2 BC = BF

Vậy tứ giác EBFD có một cặp cạnh đối song song nên EBFD là hbh

b) Vì ABCD là hbh

O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

=> O là trung điểm của AC và BD

Xét hbh EBFD

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo EF và BD

Vì EBFD là hbh, I là trung điểm của BD

Vì O cũng là trung điểm của BD, suy ra I trùng với O

Vậy O nằm trên đường thẳng EF, hay ba điểm E ,O ,F thẳng hàng

Do BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC

Nên N là trung điểm của AB và M là trung điểm của AC

Xét tam giác GBC :

P là trung điểm của GB, Q là trung điểm của GC

Theo định lý đường trung bình tam giác, ta có :

PQ // BC

PQ = 1/2 BC

Từ các kết quả trên, ta có :

Vì PQ // BC và MN // BC

=>PQ // MN

VÌ PQ = 1/2 BC và MN = 1/2 BC

=> PQ = MN

Tứ giác PQMN có cặp cạnh đối PQ và MN song song bằng nhau

Do đó : Tứ giác PQMN lAhbh

a) Tứ giác AEFD có :

AE // DE ( vì AB // CD )

AE = 2AB và DE = 2CD

Mà AB - CD

=> AE = DF

=> Tứ giác AEFD là hbh ( cặp cạnh đối song song và bằng nhau a0

Tứ giác ABFC có :

AB // CF ( vì AB // CD )

AB = CD ( gt )

CF = CD ( gt )

=> AB = CF

=> Tứ giác ABFC là hbh ( cặp cạnh đối song song và bằng nhau )

b) Gọi M là giao điểm của hai đường chéo hbh AEFD

Tứ giác AEFD là hbh

=> M là trung điểm của AF và DF

Tứ giác ABFC là hbh

=> M là trung điểm của AF và BC

=> M là trung điểm của AF , DE , BC

Vậy trung điểm của AF , DE , BC trùng nhau

Xét hai tam giác OAM và OCM có :

Góc O1 = Góc O2 ( đối đỉnh )

OA = OC ( gt )

Góc A1 = Góc C1 ( SLT )

=> Tam giác OAM = Tam giác OCM ( g.c.g )

=> AM = NC

Xét tứ giác MBND có :

MB // ND ( vì AB // CD ) (1)

MB = AB - AM

ND = CD - ND

Mà AB = CD và AM = NC nên MB = ND (2)

Từ (1) và (2) suy ra MBND là hbh

a) Tứ giác AEFD có :

AE // DF ( vì AB // CD )

AE = DF ( vì AB = CD và E , F lần lượt là trung điểm của AC , CD )

=> Tứ giác AEFD là hbh

Tứ giác AECF có :

AE // FC ( vì AB // CD )

AE = FC ( vì AB - CD và E , F lần lượt là trung điểm AB , CD )

=> Tứ giác AECF là hbh

b) Tứ giác AEFD là hbh

=> EF = AD

Tứ giác AECF là hbh

=> AF = EC