• 1 Vietnam is developing new industries with the help of science and technology this year.

• 2 Scientists use special tools to explore space in search of signs of alien life.

Chứng minh bất đẳng thức

Ta cần chứng minh rằng:

4x2y2(x2+y2)2+x2y2+y2x2≥3(x2+y2)24x^2y^2(x^2+y^2)^2 + x^2y^2 + y^2x^2 \geq 3(x^2+y^2)^24x2y2(x2+y2)2+x2y2+y2x2≥3(x2+y2)2

Bước 1: Đặt biến phụ

Đặt a=x2a = x^2a=x2 và b=y2b = y^2b=y2, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

4ab(a+b)2+ab+ab≥3(a+b)24a b (a+b)^2 + ab + ab \geq 3(a+b)^24ab(a+b)2+ab+ab≥3(a+b)2

Rút gọn:

4ab(a2+2ab+b2)+2ab≥3(a2+2ab+b2)4ab(a^2 + 2ab + b^2) + 2ab \geq 3(a^2 + 2ab + b^2)4ab(a2+2ab+b2)+2ab≥3(a2+2ab+b2)4a3b+8a2b2+4ab3+2ab≥3a2+6ab+3b24a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3 + 2ab \geq 3a^2 + 6ab + 3b^24a3b+8a2b2+4ab3+2ab≥3a2+6ab+3b2

Bước 2: Chứng minh bất đẳng thức

Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

4a3b+4ab3≥8a2b24a^3b + 4ab^3 \geq 8a^2b^24a3b+4ab3≥8a2b28a2b2+2ab≥6ab8a^2b^2 + 2ab \geq 6ab8a2b2+2ab≥6ab

Do đó:

4a3b+8a2b2+4ab3+2ab≥3a2+6ab+3b24a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3 + 2ab \geq 3a^2 + 6ab + 3b^24a3b+8a2b2+4ab3+2ab≥3a2+6ab+3b2

Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh đúng.

Vậy ta đã chứng minh được:

4x2y2(x2+y2)2+x2y2+y2x2≥3(x2+y2)24x^2y^2(x^2+y^2)^2 + x^2y^2 + y^2x^2 \geq 3(x^2+y^2)^24x2y2(x2+y2)2+x2y2+y2x2≥3(x2+y2)2

Chứng minh $△ABC\sim △HBA$

• Ta có $△ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, nên $△HBA$ cũng vuông tại $H$.
• Xét $△ABC$ và $△HBA$:
  • $\angle ABC$ chung.
  • ∠BAC=∠BHA=90∘\angle BAC = \angle BHA = 90^\circ∠BAC=∠BHA=90∘.

⇒ $△ABC\sim △HBA$ (g.g)

Chứng minh AB2=BC⋅BHAB^2 = BC \cdot BHAB2=BC⋅BH

• Vì $△ABC\sim △HBA$, ta có tỉ số đồng dạng:

ABBC=BHAB\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB}BCAB​=ABBH​

Nhân chéo:

AB2=BC⋅BHAB^2 = BC \cdot BHAB2=BC⋅BH

Gọi $x$ (km) là quãng đường $AB$.

Điều kiện: $x>0$.

Thời gian người đó đi xe đạp từ $A$ đến $B$ là: x1515x​ (h);

Thời gian lúc về của người đó là: x1212x​ (h).

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi $45$ phút =34=43​ (h), nên ta có phương trình:

x12−x15=3412x​−15x​=43​

5x60−4x60=4560605x​−604x​=6045​

$5x-4x=45$

$x=45$ (TMĐK)

Vậy quãng đường $AB$ dài $45$ (km).

​x2−9=(x−3)(x+3)

A=(x−3)(x+3)3(x+5)​+(x+3)−2x−3​