Gọi phương trình chính tắc của elip \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 , a > b > 0\).

Do elip \(\left(\right. E \left.\right)\) đi qua hai điểm \(M \left(\right. 2 ; 2 \sqrt{6} \left.\right)\) và \(N \left(\right. 4 ; - \sqrt{15} \left.\right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}\frac{4}{a^{2}}+\frac{24}{b^{2}}=1\\ \frac{16}{a^{2}}+\frac{15}{b^{2}}=1\end{cases}{\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{36}\\ \frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{27}\end{cases}{\Leftrightarrow\begin{cases}a^2=36\\ b^2=27\end{cases}{\Rightarrow{\begin{cases}a=6\\ b=3\sqrt3\end{cases}}}}}\).

\(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{6^2-\left(3\sqrt3\right)^2}=3\)

Vậy:

+ Phương trình chính tắc của \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1\).

+ Tiêu điểm \(F_{1} \left(\right. - 3 ; 0 \left.\right) , F_{2} \left(\right. 3 ; 0 \left.\right)\).

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Do \(M\) nhìn \(F_{1} , F_{2}\) dưới một góc vuông nên \(M\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\) nhận \(F_{1} F_{2}\) là đường kính.

Suy ra \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(O\) và bán kính \(R = \frac{F_{1} F_{2}}{2} = \sqrt{5} .\)

Phương trình đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\): \(x^{2} + y^{2} = 5\).

Điểm \(M\) là tọa độ giao điểm của \(\left(\right. E \left.\right)\) và \(\left(\right. C \left.\right)\).

Do đó tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\\ x^2+y^2=5\end{cases}{x^2+y^2=5\left(\right.I\left.\right)}\)

Giải hệ \(\left(\right. I \left.\right)\) ta được: \(M_{1} \left(\right. \frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) ; M_{2} \left(\right. - \frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) ; M_{3} \left(\right. \frac{3}{\sqrt{5}} ; - \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) ; M_{4} \left(\right. - \frac{3}{\sqrt{5}} ; - \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right)\).

Vì elip \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) đi qua hai điểm \(A \left(\right. 2 ; 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. 1 ; \frac{\sqrt{3}}{2} \left.\right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}\frac{4}{a^{2}}=1\\ \frac{1}{a^{2}}+\frac{\frac{3}{4}}{b^{2}}=1\end{cases}{\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{4}\\ \frac{1}{b^{2}}=1\end{cases}{\Leftrightarrow\begin{cases}a^2=4\\ b^2=1\end{cases}{\Leftrightarrow\begin{cases}a=2\\ b=1\end{cases}{}}}}\).

Vậy \(a = 2\), \(b = 1\).

a) Đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\) đường kính \(M N\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(M N\) và bán kính \(R = \frac{M N}{2} .\)

Ta có: \(\begin{cases}x_{I}=\frac{x_{M} + x_{N}}{2}=\frac{2 + \left(\right. - 2 \left.\right)}{2}=0\\ y_{I}=\frac{y_{M} + y_{N}}{2}=\frac{- 2 + 2}{2}=0\end{cases}\).

Vậy \(I \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\).

Ta có: \(R = \frac{M N}{2} = \frac{\sqrt{\left(\left(\right. - 2 - 2 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. 2 + 2 \left.\right)\right)^{2}}}{2} = 2 \sqrt{2} .\)

Vậy phương trình đường tròn \(\left(\right. C \left.\right) : x^{2} + y^{2} = 8.\)

b) Giao điểm của \(\left(\right. C \left.\right)\) và \(O x\) là \(A \left(\right. 2 \sqrt{2} ; 0 \left.\right)\) và \(B \left(\right. - 2 \sqrt{2} ; 0 \left.\right)\).

Gọi phương trình chính tắc của elip \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Độ dài trục lớn của elip bằng \(8\) nên \(2 a = 8 \Rightarrow a = 4\).

\(A \left(\right. 2 \sqrt{2} ; 0 \left.\right)\) và \(B \left(\right. - 2 \sqrt{2} ; 0 \left.\right)\) là các tiêu điểm của elip nên \(c = 2 \sqrt{2}\).

Do đó \(b^{2} = a^{2} - c^{2} = 16 - 8 = 8\).

Vậy phương trình elip là \(\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1\).

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Vì \(M \left(\right. \frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) \in \left(\right. E \left.\right)\) nên \(\frac{9}{5 a^{2}} + \frac{16}{5 b^{2}} = 1 \left(\right. * \left.\right)\).

Ta có \(\hat{F_{1} M F_{2}} = 9 0^{\circ} \&\text{nbsp}; \Rightarrow O M = \frac{F_{1} F_{2}}{2} = c \Rightarrow c^{2} = O M^{2} = \frac{9}{5} + \frac{16}{5} = 5\)

\(\Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2} = b^{2} + 5\).

Do đó \(\left(\right. * \left.\right) \Leftrightarrow \frac{9}{5 \left(\right. b^{2} + 5 \left.\right)} + \frac{16}{5 b^{2}} = 1 \Leftrightarrow 9 b^{2} + 16 b^{2} + 80 = 5 b^{2} \left(\right. b^{2} + 5 \left.\right)\)

\(\Leftrightarrow b^{4} = 16 \Leftrightarrow b^{2} = 4 \Rightarrow a^{2} = 9\).

Vậy phương trình chính tắc của elip là \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1\).

b) Gọi phương trình chính tắc của \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) với \(a > b > 0\), \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} > 0\).

Độ dài trục lớn là \(2 a\), các đỉnh trên trục nhỏ là \(B_{1} \left(\right. 0 ; b \left.\right) , B_{2} \left(\right. 0 ; - b \left.\right)\) và các tiêu điểm \(F_{1} \left(\right. c ; 0 \left.\right)\), \(F_{2} \left(\right. - c ; 0 \left.\right)\).

Do độ dài trục lớn của \(\left(\right. E \left.\right)\) bằng \(4 \sqrt{2}\) nên: \(2 a = 4 \sqrt{2} \Leftrightarrow a = 2 \sqrt{2}\).

Do các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của \(\left(\right. E \left.\right)\) cùng nằm trên một đường tròn nên ta có: \(b = c \Leftrightarrow b = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\).

Thay \(a = 2 \sqrt{2}\) vào đẳng thức trên ta được \(b = \sqrt{\left(\left(\right. 2 \sqrt{2} \left.\right)\right)^{2} - b^{2}}\).

Do \(b > 0\) nên ta được \(b = 2\).

Vậy phương trình chính tắc của \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1\).

Giả sử phương trình chính tắc của elip có dạng:

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=11\)

Ta có tiêu cự 2c = PQ = \(\sqrt{\left(4-\left(-4\right)\right)^2-\left(0-0\right)^2}=\sqrt{8^2}=8\)

\(\implies\) c = 4

Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là: 4a + 4b = 32

\(\implies\) b = 8 \(-\) a

Ta có: \(a^2=b^2+c^2\)

\(\implies a^2=\left(8-a\right)^2+4^2\)

\(\lrArr a^2=64-16a+a^2+16\)

\(\lrArr\) \(a=5\)

Khi đó:

\(b=8-a=8-5=3\) (Thỏa mãn a>b>0)

Vậy phương trình chính tắc của elip là:

\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\)

Ta có:

\(a^2=4\implies a=2\)

\(b^2=1\implies b=1\)

\(c^2=a^2-b^2=4-1=3\implies c=\sqrt3\)

Vậy hai tiêu điểm của elip là:

F1(\(\left(-\sqrt3;0\right)\) và F2\(\left(\sqrt3;0\right)\)

Vì M thuộc elip nên MF1 + MF2 = 2a = 4

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MF1F2, ta có:

\(MF1^2\) + \(MF2^2\) = \(F1F2^2\) = \(\left(2c\right)^2\) =12

Diện tích tam giác vuông MF1F2 là:

S = 1/2.MF1.MF2

Ta có: \(\left(MF1+MF2\right)^2\) = \(MF1^2+MF2^2+2MF1.MF2\) \(\implies\) \(4^2\) = 12 + 2MF1.MF2\(\lrArr\) MF1.MF2=2

Vậy Diện tích tam giác MF1MF2 là:

S = 1/2.2=1(đvdt)

Có \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{11}\)

Tiêu điểm \(F_{1} \left(\right. \sqrt{11} , 0 \left.\right) ; F_{2} \left(\right. - \sqrt{11} , 0 \left.\right)\)

Tiêu cự \(F_{1} F_{2} = 2 \sqrt{11}\)

Trục lớn : 2a = 12

Trục bé 2b = 10

Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{11}}{6}\)