a)Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có:

AD=CB góc ADH= góc CBK =>ΔAHD=ΔCKB

=>AH=CK mà AH//CK

nên AHCK là hình bình hành

b)AHCK là hình bình hành

=>AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>là trung điểm của AC ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>là trung điểm của BD

=>IB=ID

a) Ta có : t/g ABCD là hbh Suy ra : AD=BC Mà E là trung điểm của AD F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có :

BF//ED ( BC//AD )

BF=ED ( cmt )

Suy ra : t/g EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng Ta có :

t/g EBFD là hbh ( cmt ) Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

suy ra : 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Xét ΔABC có AN/AB=AM/AC=1/2

nên NM//BC và NM=1/2BC

(1) Xét ΔGBC có GP/GB=GQ/GC=1/2

nên PQ//BC và PQ=BC/2(2)

Từ (1), (2) suy ra NM//PQ và NM=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD):

AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD)

AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà O là trung điểm của AF. Suy ra O cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên:

OA = OC

OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM = góc OCN OAM = OCN (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: Góc OAM = góc OCN

Góc OAM = góc OCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

Góc AOM= góc CON

GócAOM = góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên):

AB = AM + BM

CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD. Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE, CF = DF. Do đó AE = BE = CF = DF.

• Xét tứ giác AEFD có: AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

• Xét tứ giác AECF có: AE // CF (vì AB // CD); AE = CF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AECF là hình bình hành. Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD. Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC. Vậy EF = AD, AF = EC.