Vì M nhìn F_{1} và F_{2} dưới một góc vuông, ta có ∠F_{1}MF_{2} = 90^{\circ }. Điều này có nghĩa là \vec{MF_{1}} ⋅ \vec{MF_{2}} = 0.

Giả sử F_{1}(-c,0) và F_{2}(c,0), ta có:

\vec{MF_{1}} = \left( -c-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)

\vec{MF_{2}} = \left( c-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)

\vec{MF_{1}} ⋅ \vec{MF_{2}} = \left( -c-\frac{3}{5}\right) \left( c-\frac{3}{5}\right) + \left( -\frac{4}{5}\right) \left( -\frac{4}{5}\right) = 0

-c^{2} + \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 0

c^{2} = \frac{25}{25} = 1

Vậy c = 1.

Phương trình chính tắc của elip là \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với a^{2}-b^{2} = c^{2}. Vì c = 1, ta có a^{2}-b^{2} = 1.

Điểm M\left( \frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) thuộc elip, nên:

\frac{\left( \frac{3}{5}\right) ^{2}}{a^{2}} + \frac{\left( \frac{4}{5}\right) ^{2}}{b^{2}} = 1

\frac{9}{25a^{2}} + \frac{16}{25b^{2}} = 1

Ta có hệ phương trình:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle a^{2}-b^{2}=1\\ \textstyle \frac{9}{25a^{2}}+\frac{16}{25b^{2}}=1\end{cases}\right.

Từ phương trình thứ nhất, ta có a^{2} = b^{2} + 1. Thay vào phương trình thứ hai:

\frac{9}{25(b^{2}+1)} + \frac{16}{25b^{2}} = 1

\frac{9b^{2}+16(b^{2}+1)}{25b^{2}(b^{2}+1)} = 1

9b^{2} + 16b^{2} + 16 = 25b^{4} + 25b^{2}

25b^{4} = 16

b^{4} = \frac{16}{25}

b^{2} = \frac{4}{5}

Suy ra a^{2} = b^{2} + 1 = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5}.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:

\frac{x^{2}}{\frac{9}{5}} + \frac{y^{2}}{\frac{4}{5}} = 1

\frac{5x^{2}}{9} + \frac{5y^{2}}{4} = 1

b, Độ dài trục lớn là 2a = 4\sqrt{2}, suy ra a = 2\sqrt{2}, và a^{2} = 8.

Các đỉnh trên trục nhỏ là B_{1}(0,-b) và B_{2}(0,b), các tiêu điểm là F_{1}(-c,0) và F_{2}(c,0). Theo đề bài, B_{1},B_{2},F_{1},F_{2} cùng nằm trên một đường tròn.

Vì B_{1},B_{2},F_{1},F_{2} cùng nằm trên một đường tròn, đường tròn này phải có tâm tại gốc tọa độ O(0,0). Do đó, khoảng cách từ tâm đến các điểm này phải bằng nhau:

OB_{1} = OB_{2} = OF_{1} = OF_{2}

b = c

Sử dụng hệ thức a^{2} = b^{2} + c^{2}

Ta có a^{2} = b^{2} + c^{2}. Vì b = c, ta có:

a^{2} = 2b^{2}

8 = 2b^{2}

b^{2} = 4

Vậy b = 2.

Phương trình chính tắc của elip (E) là:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1

Hai tiêu điểm của elip là P(-4;0) và Q(4;0). Từ đó, ta có tiêu cự 2c = PQ = 8, suy ra c = 4.

• Elip có dạng chính tắc là \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với a > b > 0.

• Ta có c^{2} = a^{2}-b^{2}, suy ra 16 = a^{2}-b^{2}

Hình chữ nhật cơ sở của elip có các đỉnh là (a;b),(-a;b),(-a;-b),(a;-\\ b).

• Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là 4(a + b) = 32, suy ra a + b = 8.

Ta có hệ phương trình:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle a^{2}-b^{2}=16\\ \textstyle a+b=8\end{cases}\right.

Từ phương trình thứ hai, ta có b = 8-a. Thay vào phương trình thứ nhất:

a^{2}-(8-a)^{2}=16\\ a^{2}-(64-16a+a^{2})=16\\ 16a-64=16\\ 16a=80\\ a=5

Suy ra Ta có a^{2} = 25 và b^{2} = 9. Vậy phương trình chính tắc của elip là:

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

Hai tiêu điểm của elip là P(-4;0) và Q(4;0). Từ đó, ta có tiêu cự 2c = PQ = 8, suy ra c = 4.

• Elip có dạng chính tắc là \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với a > b > 0.

• Ta có c^{2} = a^{2}-b^{2}, suy ra 16 = a^{2}-b^{2}

Hình chữ nhật cơ sở của elip có các đỉnh là (a;b),(-a;b),(-a;-b),(a;-\\ b).

• Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là 4(a + b) = 32, suy ra a + b = 8.

Ta có hệ phương trình:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle a^{2}-b^{2}=16\\ \textstyle a+b=8\end{cases}\right.

Từ phương trình thứ hai, ta có b = 8-a. Thay vào phương trình thứ nhất:

a^{2}-(8-a)^{2}=16\\ a^{2}-(64-16a+a^{2})=16\\ 16a-64=16\\ 16a=80\\ a=5

Suy ra Ta có a^{2} = 25 và b^{2} = 9. Vậy phương trình chính tắc của elip là:

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

Hai tiêu điểm của elip là P(-4;0) và Q(4;0). Từ đó, ta có tiêu cự 2c = PQ = 8, suy ra c = 4.

• Elip có dạng chính tắc là \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với a > b > 0.

• Ta có c^{2} = a^{2}-b^{2}, suy ra 16 = a^{2}-b^{2}

Hình chữ nhật cơ sở của elip có các đỉnh là (a;b),(-a;b),(-a;-b),(a;-\\ b).

• Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là 4(a + b) = 32, suy ra a + b = 8.

Ta có hệ phương trình:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle a^{2}-b^{2}=16\\ \textstyle a+b=8\end{cases}\right.

Từ phương trình thứ hai, ta có b = 8-a. Thay vào phương trình thứ nhất:

a^{2}-(8-a)^{2}=16\\ a^{2}-(64-16a+a^{2})=16\\ 16a-64=16\\ 16a=80\\ a=5

Suy ra Ta có a^{2} = 25 và b^{2} = 9. Vậy phương trình chính tắc của elip là:

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

Hai tiêu điểm của elip là P(-4;0) và Q(4;0). Từ đó, ta có tiêu cự 2c = PQ = 8, suy ra c = 4.

• Elip có dạng chính tắc là \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với a > b > 0.

• Ta có c^{2} = a^{2}-b^{2}, suy ra 16 = a^{2}-b^{2}

Hình chữ nhật cơ sở của elip có các đỉnh là (a;b),(-a;b),(-a;-b),(a;-\\ b).

• Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là 4(a + b) = 32, suy ra a + b = 8.

Ta có hệ phương trình:

\left\{ \, \begin{cases}\textstyle a^{2}-b^{2}=16\\ \textstyle a+b=8\end{cases}\right.

Từ phương trình thứ hai, ta có b = 8-a. Thay vào phương trình thứ nhất:

a^{2}-(8-a)^{2}=16\\ a^{2}-(64-16a+a^{2})=16\\ 16a-64=16\\ 16a=80\\ a=5

Suy ra Ta có a^{2} = 25 và b^{2} = 9. Vậy phương trình chính tắc của elip là:

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

Elip (E) có phương trình: \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

• a^{2} = 4 ⇒ a = 2

• b^{2} = 1 ⇒ b = 1

• c^{2} = a^{2}-b^{2} = 4-1 = 3 ⇒ c = \sqrt{3}

• Hai tiêu điểm của elip là: F_{1}(-\sqrt{3},0) và F_{2}(\sqrt{3},0)

Ta có MF_{1} + MF_{2} = 2a = 4 (tính chất của elip)

• Vì MF_{1} ⟂ MF_{2}, nên ΔMF_{1}F_{2} là tam giác vuông tại M.

• Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác MF_{1}F_{2}:

F_{1}F^{2}_{2} = MF^{2}_{1} + MF^{2}_{2}

• Mà F_{1}F_{2} = 2c = 2\sqrt{3}, suy ra F_{1}F^{2}_{2} = (2\sqrt{3})^{2} = 12

• Vậy MF^{2}_{1} + MF^{2}_{2} = 12

Diện tích ΔMF_{1}F_{2} là:

S = \frac{1}{2}MF_{1} ⋅ MF_{2}

• Ta có:

(MF_{1} + MF_{2})^{2} = MF^{2}_{1} + MF^{2}_{2} + 2 ⋅ MF_{1} ⋅ MF_{2}

4^{2} = 12 + 2 ⋅ MF_{1} ⋅ MF_{2}

16 = 12 + 2 ⋅ MF_{1} ⋅ MF_{2}

2 ⋅ MF_{1} ⋅ MF_{2} = 4

MF_{1} ⋅ MF_{2} = 2

• Vậy diện tích ΔMF_{1}F_{2} là:

S = \frac{1}{2} ⋅ 2 = 1

Kết luận:

• MF^{2}_{1} + MF^{2}_{2} = 12

• Diện tích ΔMF_{1}F_{2} = 1

Phương trình elip  có:

    •    : Độ dài trục lớn là .
    •    : Độ dài trục bé là .
    •    Sai số .

Các yếu tố:

    •    Tâm elip: .
    •    Trục lớn nằm trên trục , nên tiêu điểm: , .
    •    Sai số 

         Tâm:
    •    Tiêu điểm: 
    •    Độ dài trục lớn: 12
    •    Độ dài trục bé: 10
    •    Sai số: 

Phương trình elip  có:

    •    : Độ dài trục lớn là .
    •    : Độ dài trục bé là .
    •    Sai số .

Các yếu tố:

    •    Tâm elip: .
    •    Trục lớn nằm trên trục , nên tiêu điểm: , .
    •    Sai số 

         Tâm:
    •    Tiêu điểm: 
    •    Độ dài trục lớn: 12
    •    Độ dài trục bé: 10
    •    Sai số: 

Phương trình elip  có:

    •    : Độ dài trục lớn là .
    •    : Độ dài trục bé là .
    •    Sai số .

Các yếu tố:

    •    Tâm elip: .
    •    Trục lớn nằm trên trục , nên tiêu điểm: , .
    •    Sai số 

         Tâm:
    •    Tiêu điểm: 
    •    Độ dài trục lớn: 12
    •    Độ dài trục bé: 10
    •    Sai số: 

Phương trình elip  có:

    •    : Độ dài trục lớn là .
    •    : Độ dài trục bé là .
    •    Sai số .

Các yếu tố:

    •    Tâm elip: .
    •    Trục lớn nằm trên trục , nên tiêu điểm: , .
    •    Sai số 

         Tâm:
    •    Tiêu điểm: 
    •    Độ dài trục lớn: 12
    •    Độ dài trục bé: 10
    •    Sai số: