a) Gọi E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB,AC

vì AE và AF là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A => AE=AF

Tương tự BE=BD,CD=CF

2BD=BD+BE=BC-CD+AB-AE=BC+AB-(CD+AE)+BC+AB-(CF+AF)=BC+AB-AC

=> BD=(BC+AC-AB):2 (đpcm)

b) Tương tự chứng minh a, ta có CD=(BC+AB-AC):2

Mà AB^2+AC^2=BC^2 => BD.DC=(BC+AB-AC).(BC+AC-AB)/4

BC^2-(AB-AC)^2/4=BC^2-AB^2-AC^2+2AB.AC/4=AB.AC/2=S tam giác ABC

Xet tam giác vuông tại O có IC^2=OI^2+OC^2=>IC= căn 10/9R

Xét (O) có góc CED chắn nửa đường tròn tâm O => góc CED= 90 ĐỘ

Xts tam giác OCI và tam giác ECD có

 Góc COI= góc CED=90 độ

Góc E chung

=> tam giác OCI~ tám giác ECD

=> OC/EC=IC/CD=>EC=2R÷ căn 10/9=(3R. căn 10);5

Xét tam giác ABC có vóc A bằng 90 độ => BC^2=AB^2+AC^2=>BC=15=>IB=IA=15:2=7,5 (cm)

=> IG=1/3×IA=2,5 (cm)

Vậy IG=7 (cm)

Gọi I là trung điểm BC, khi đó (I,AI) là đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Xét tam giác ABC có góc A bằng 90 độ => BC^2=AB^2+AC^2=>BC=10

Ta có: r=1/2×BC=1/2×10=5 (cm)

Vậy r=5 (cm)