Gọi x là khoảng cách từ A đến B (đơn vị: km).

 * Khoảng cách từ B đến chân ngọn hải đăng là 5 - x (km).

 * Khoảng cách từ B đến C (ngọn hải đăng) là: √((5 - x)² + 1²) = √(x² - 10x + 26) (km).

2. Viết phương trình chi phí

 * Chi phí kéo dây từ A đến B: 2x (tỉ đồng).

 * Chi phí kéo dây từ B đến C: 3√(x² - 10x + 26) (tỉ đồng).

 * Tổng chi phí: 2x + 3√(x² - 10x + 26) = 13

3. Giải phương trình

 * 3√(x² - 10x + 26) = 13 - 2x

 * Bình phương hai vế: 9(x² - 10x + 26) = 169 - 52x + 4x²

 * 9x² - 90x + 234 = 4x² - 52x + 169

 * 5x² - 38x + 65 = 0

 * Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm:

   * x₁ = 5

   * x₂ = 13/5 = 2.6

 * Thay x = 5 vào phương trình ban đầu, ta thấy không thỏa mãn.

 * Thay x = 2.6 vào phương trình ban đầu, ta thấy thỏa mãn.

4. Tính tổng chiều dài dây điện

 * AB = 2.6 km

 * BC = √((5 - 2.6)² + 1²) = √(2.4² + 1) = √(5.76 + 1) = √6.76 = 2.6 km

 * Tổng chiều dài dây điện: AB + BC = 2.6 + 2.6 = 5.2 km

a) Tính cosα với α là góc giữa Δ và Δ₁

Để tính cosα, ta cần xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng Δ và Δ₁.

 * Vectơ pháp tuyến của Δ: nΔ = (3, -4)

 * Vectơ pháp tuyến của Δ₁: nΔ₁ = (12, -5)

Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:

cosα = |(nΔ · nΔ₁) / (||nΔ|| · ||nΔ₁||)|

Trong đó:

 * nΔ · nΔ₁ là tích vô hướng của hai vectơ.

 * ||nΔ|| và ||nΔ₁|| là độ dài của hai vectơ.

Ta có:

 * nΔ · nΔ₁ = 3 * 12 + (-4) * (-5) = 36 + 20 = 56

 * ||nΔ|| = √(3² + (-4)²) = √25 = 5

 * ||nΔ₁|| = √(12² + (-5)²) = √169 = 13

Vậy:

cosα = |56 / (5 * 13)| = 56 / 65

b) Viết phương trình đường thẳng d song song với Δ và tiếp xúc (C)

 * Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C)

   * Tâm I(-3, 2)

   * Bán kính R = √36 = 6

 * Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

   * Vì d song song với Δ, nên vectơ pháp tuyến của d là vectơ pháp tuyến của Δ.

   * Vectơ pháp tuyến của d là n = (3, -4).

 * Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d

   * Phương trình có dạng: 3x - 4y + c = 0

 * Sử dụng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C)

   * Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d phải bằng bán kính R.

   * Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

   d(I, d) = |3 * (-3) - 4 * 2 + c| / √(3² + (-4)²) = 6

   * Giải phương trình:

   |-9 - 8 + c| / 5 = 6

   |-17 + c| = 30

   * Ta có hai trường hợp:

   * -17 + c = 30 => c = 47

   * -17 + c = -30 => c = -13

   * Vậy, có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu:

   * 3x - 4y + 47 = 0

   * 3x - 4y - 13 = 0

A) Giải bất phương trình -2x² + 18x + 20 ≥ 0

 * Chia cả hai vế cho -2 (đổi chiều bất phương trình):

   x² - 9x - 10 ≤ 0

 * Tìm nghiệm của phương trình x² - 9x - 10 = 0:

   * Sử dụng công thức nghiệm:

     x = [9 ± √(81 + 40)] / 2 = [9 ± √121] / 2 = [9 ± 11] / 2

     x₁ = (9 - 11) / 2 = -1

     x₂ = (9 + 11) / 2 = 10

 * Xét dấu tam thức bậc hai:

   * Vì hệ số của x² là 1 > 0, parabol có bề lõm hướng lên.

   * Bất phương trình x² - 9x - 10 ≤ 0 có nghiệm khi x nằm giữa hai nghiệm x₁ và x₂.

 * Kết luận:

   * Nghiệm của bất phương trình là -1 ≤ x ≤ 10.

Tính kích thước khung ảnh lớn

   * Chiều dài khung ảnh lớn: 25 + 2x (cm)

   * Chiều rộng khung ảnh lớn: 17 + 2x (cm)

 * Viết phương trình diện tích khung ảnh lớn

   * Diện tích khung ảnh lớn: (25 + 2x)(17 + 2x) = 513

 * Giải phương trình

   * 425 + 50x + 34x + 4x² = 513

   * 4x² + 84x + 425 - 513 = 0

   * 4x² + 84x - 88 = 0

   * x² + 21x - 22 = 0

 * Tìm nghiệm của phương trình bậc hai

   * Giải phương trình bậc hai trên, ta được hai nghiệm: x₁ = 1 và x₂ = -22.

   * Vì x là độ rộng viền khung ảnh nên x > 0. Vậy ta chỉ lấy nghiệm x = 1.

a) Tính cosα với α là góc giữa Δ và Δ₁.

 * Vectơ pháp tuyến của Δ: nΔ = (3, 4)

 * Vectơ pháp tuyến của Δ₁: nΔ₁ = (5, -12)

Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:

cosα = |(nΔ · nΔ₁) / (||nΔ|| · ||nΔ₁||)

Ta có:

 * nΔ · nΔ₁ = 3 * 5 + 4 * (-12) = 15 - 48 = -33

 * ||nΔ|| = √(3² + 4²) = √25 = 5

 * ||nΔ₁|| = √(5² + (-12)²) = √169 = 13

Vậy:cosα = |-33 / (5 * 13)| = 33 / 65