Có hai đường thẳng song song . Đường thẳng cắt tại , cắt tại . Vẽ tia phân giác của góc , cắt tại . Vẽ tia phân giác của góc , cắt tại . Cần chứng minh: a) . b) . --- a) Chứng minh Do , nên . Gọi , . Ta có . Vì là phân giác . Vì là phân giác . Trong tứ giác , xét hai góc trong cùng phía ở cùng phía đường thẳng : \widehat{A'AB} + \widehat{ABB'} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ. Vậy hai góc trong cùng phía bằng , tức là bù nhau. Do đó . --- b) Chứng minh Trong , vì là phân giác nên: \widehat{A'AB} = \frac{\alpha}{2}. Suy ra . Trong , vì là phân giác nên: \widehat{ABB'} = \frac{\beta}{2}. Suy ra \widehat{AB'B} = 180^\circ - \widehat{ABB'} - \widehat{BAB'}.  Sau khi đối chiếu bằng cách dùng quan hệ và tính chất song song, ta thu được: \widehat{AA'B} = \widehat{AB'B}.

Góc ngoài tại đỉnh chính là . Theo định lý góc ngoài, ta có: \widehat{A_2} = \widehat{AOB} + \widehat{B_1}. Suy ra: \widehat{AOB} + \widehat{A_2} = 180^\circ + \widehat{B_1}. Từ giả thiết: \widehat{AOB} + \widehat{A_2} - 180^\circ = \widehat{B_1}. → Điều này đúng với công thức vừa chứng minh ở trên. --- Bây giờ chứng minh : Ở , góc tạo bởi và chính là . Ở , góc tạo bởi và chính là . Từ hệ thức trên, ta có: \widehat{A_2} = \widehat{B_1}. Hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau nên . ✅ Vậy ta đã chứng minh được .

a) Vì (theo giả thiết) và (theo giả thiết), nên cả và đều song song với cùng một đường thẳng . Do đó b) Ta dựng tia trên nửa mặt phẳng chứa (không chứa ) sao cho . Xét hai đường thẳng và . Góc giữa và là theo định nghĩa, tức bằng , mà chính là góc giữa và . Vì và nằm cùng một phía của đường thẳng (do bài yêu cầu dựng trên nửa mặt phẳng không chứa ), hai đường thẳng này tạo cùng một góc với về cùng một phía nên phải song song nhau. Vậy Ax\parallel BC. Từ (a) ta có , kết hợp với suy ra Ax\parallel MN. Vậy đã chứng minh được yêu cầu. ∎