Đặt

\(\frac{a^{2} + b^{2}}{a b + 1} = k \in \mathbb{N} .\)

Khi đó

\(a^2+b^2=k\left(\right.ab+1\left.\right)(\text{1})\)

Giả sử \(k\) không là số chính phương. Chọn cặp \(\left(\right. a , b \left.\right)\) thỏa (1) có \(a + b\) nhỏ nhất, giả sử \(a \geq b\).

Xét (1) như phương trình bậc hai theo \(a\):

\(a^{2} - k b a + b^{2} - k = 0.\)

Theo Viète, nghiệm còn lại là

\(a^{'} = k b - a ,\)

và

\(a a^{'} = b^{2} - k .\)

Suy ra \(a^{'} > 0\). Hơn nữa \(a^{'} < a\), nên

\(a^{'} + b < a + b .\)

Lại có

\(a^{' 2} + b^{2} = k \left(\right. a^{'} b + 1 \left.\right) ,\)

tức \(\left(\right. a^{'} , b \left.\right)\) cũng là một nghiệm của (1), mâu thuẫn với cách chọn \(\left(\right. a , b \left.\right)\) có tổng nhỏ nhất.

Vậy giả thiết \(k\) không là số chính phương là sai.

Suy ra

\(\boxed{\frac{a^{2} + b^{2}}{a b + 1}}\)

luôn là một số chính phương.

đổi 1km = 1000m

Tỉ số là 15/1000

Cứ chờ nhé b

loke

uh ok

ohh..

20 + x = 100 + 50

20 + x = 150

x = 150 - 20

x = 130

Um..

Nhà bạn có mười ba con gà

um