a,Vì ABCD  là hình bình hành => {AB//CDAD//BC

Tứ giác AMCN có {AM=CNAM//CN⇒AMCN là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có {AM=DNAM//DN⇒AMND là hình bình hành

=> AD // MN, mà AD⊥AC⇒MN⊥AC (2)

b,Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Gọi O  là giao điểm của AC  và BD  khi đó AC⊥BD  (Vì O  là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Xét ΔABE và ΔADF có:

AB = AD (Vì ABCD là hình thoi)

ˆB=ˆD      (Vì ABCD là hình thoi)

BE = DF (giả thiết)

Suy ra ΔABE=ΔADF(c.g.c)

Suy ra ˆA1=ˆA4  (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của ˆA⇒ˆA2=ˆA3.

Do đó AO là phân giác của ˆHAG.    (*)

Xét ΔAGH  có:

AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên ΔAGH  cân tại A.

Suy ra HO = OG   (1)

Lại có AO = OC  ( Vì ABCD  là hình thoi có trung điểm O )    (2)

Từ (1) và (2)  suy ra AGCH  là hình bình hành. (**)

Từ (*)  và (**)  ta được tứ giác AGCH  là hình thoi. (đpcm)