LÊ THANH VÂN
Giới thiệu về bản thân
Thử phiên bản mới
Xét hai trường hợp: nếu \(x < 1\) thì \(x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1 = x^{8} + x^{2} \left(\right. 1 - x^{5} \left.\right) + \left(\right. 1 - x \left.\right) > 0\) vì \(x^{8} \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } x^{2} \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } 1 - x^{5} > 0\) và \(1 - x > 0\). Nếu \(x \geq 1\) thì \(x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1 = x^{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) + x \left(\right. x - 1 \left.\right) + 1 > 0\) vì \(x - 1 \geq 0\) nên \(x^{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) \geq 0\) và \(x \left(\right. x - 1 \left.\right) \geq 0\)Vậy \(x^8-x^7+x^2-x+1>0;x\in\mathbb{R}\)
Ta có
\(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} \left.\right)\) \(=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{a}-\frac{a}{b}\right)^2\geq0.\)Suy ra
\(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} \left.\right) .\)Chia cả hai vế cho 2, ta được:
\(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geq\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)Ta có
\(x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + y^{4} = \frac{x^{5} + y^{5}}{x + y} .\)Do \(x + y > 0\), bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(x^{5} + y^{5} > \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) . \left(\right. 1 \left.\right)\)Vì \(x > \sqrt{2}\) và \(y > \sqrt{2}\) nên
\(x^{2} > 2 , y^{2} > 2.\)Suy ra
\(x^{5} = x^{2} \cdot x^{3} > 2 x^{3} , y^{5} = y^{2} \cdot y^{3} > 2 y^{3} .\)Cộng hai bất đẳng thức trên, ta được
\(x^{5} + y^{5} > 2 \left(\right. x^{3} + y^{3} \left.\right) .\)Mà
\(x^{3} + y^{3} = \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) ,\)nên
\(x^{5} + y^{5} > 2 \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) .\)Lại có
\(2 \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) = \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) + \left(\right. x - y \left.\right)^{2} \geq x^{2} + y^{2} .\)Do đó
\(x^{5} + y^{5} > \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) ,\)chính là (1).
Suy ra
\(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4>x^2+y^2\)Ta có \(x + y = 1\), nên
\(\left(\right. 1 + \frac{1}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{y} \left.\right) - 9 = \frac{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. y + 1 \left.\right) - 9 x y}{x y} .\)Mà
\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. y + 1 \left.\right) = x y + x + y + 1 = x y + 2\)(vì \(x + y = 1\)).
Do đó
\(\left(\right. 1 + \frac{1}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{y} \left.\right) - 9 = \frac{x y + 2 - 9 x y}{x y} = \frac{2 - 8 x y}{x y}\) \(= \frac{2 \left(\right. 1 - 4 x y \left.\right)}{x y} = \frac{2 \left(\right. \left(\right. x + y \left.\right)^{2} - 4 x y \left.\right)}{x y} = \frac{2 \left(\right. x - y \left.\right)^{2}}{x y} \geq 0.\)Suy ra
\(\left(\right.1+\frac{1}{x}\left.\right)\left(\right.1+\frac{1}{y}\left.\right)\geq9\)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\(\left(\right. x - y \left.\right)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2} .\)Ta có \(1 + 4 = 2 + 3\), đặt
\(t = \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 4 \left.\right) = x^{2} - 5 x + 4.\)Khi đó
\(\left(\right. x - 2 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right) = x^{2} - 5 x + 6 = t + 2.\)Suy ra
\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x - 4 \left.\right) + 1 = t \left(\right. t + 2 \left.\right) + 1\) \(= t^{2} + 2 t + 1 = \left(\right. t + 1 \left.\right)^{2} \geq 0.\)Vậy
\(\left(\right.x-1\left.\right)\left(\right.x-2\left.\right)\left(\right.x-3\left.\right)\left(\right.x-4\left.\right)+1\geq0\)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\(\left(\right. t + 1 \left.\right)^{2} = 0 \Leftrightarrow t = - 1.\)Hay
\(x^{2} - 5 x + 4 = - 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 5 = 0.\)Suy ra
\(x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} .\)Ta có
\(4 x^{8} - 2 x^{7} + x^{6} - 3 x^{4} + x^{2} - x + 1 = x^{6} \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + 3 \left(\left(\right. x^{4} - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} .\)
Vì
\(x^{6} \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} \geq 0 , 3 \left(\left(\right. x^{4} - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} \geq 0 , \left(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} \geq 0 ,\)
nên
\(4 x^{8} - 2 x^{7} + x^{6} - 3 x^{4} + x^{2} - x + 1 \geq 0.\)
Dấu "=" không xảy ra vì ba biểu thức trên không thể đồng thời bằng \(0\).
Vậy
\(4x^8-2x^7+x^6-3x^4+x^2-x+1>0;x\in\mathbb{R}\)
Ta có
\(a + b + c + a b + b c + c a = 6 a b c .\)
Chia hai vế cho \(a b c\), ta được
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = 6. \left(\right. 1 \left.\right)\)
Lại có
\(\left(\left(\right. \frac{1}{a} - 1 \left.\right)\right)^{2} \geq 0\)
nên
\(\frac{1}{a^{2}} + 1 \geq \frac{2}{a} .\)
Tương tự,
\(\frac{1}{b^{2}} + 1 \geq \frac{2}{b} , \frac{1}{c^{2}} + 1 \geq \frac{2}{c} .\)
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được
\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \left.\right) - 3. \left(\right. 2 \left.\right)\)
Mặt khác,
\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b} , \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq \frac{2}{b c} , \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \geq \frac{2}{c a} .\)
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được
\(2 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} \left.\right) . \left(\right. 3 \left.\right)\)
Cộng (2) và (3), rồi sử dụng (1), suy ra
\(3 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} \left.\right) - 3\) \(= 2 \cdot 6 - 3 = 9.\)
Do đó
\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3.\)
Ta có
\(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} .\)Lại có
\(\left(\right. a + b \left.\right)^{2} \geq 2 \left(\right. a + b \left.\right) ,\)nên
\(a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b \left.\right) .\)Tương tự,
\(b^{2} - b c + c^{2} \geq \frac{1}{2} \left(\right. b + c \left.\right)\)và
\(c^{2} - c a + a^{2} \geq \frac{1}{2} \left(\right. c + a \left.\right) .\)Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được
\(a^{2} - a b + b^{2} + b^{2} - b c + c^{2} + c^{2} - c a + a^{2} \geq \frac{1}{2} \left[\right. \left(\right. a + b \left.\right) + \left(\right. b + c \left.\right) + \left(\right. c + a \left.\right) \left]\right.\) \(= \frac{1}{2} \cdot 2 \left(\right. a + b + c \left.\right) = a + b + c = 3.\)Vậy
\(a^{2} - a b + b^{2} + b^{2} - b c + c^{2} + c^{2} - c a + a^{2} \geq 3.\)Ta có \(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2}\). Lại có \(\left(\right. a + b \left.\right)^{2} \geq 2 \left(\right. a + b \left.\right)\) nên \(a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b \left.\right)\). Tương tự, \(b^{2} - b c + c^{2} \geq \frac{1}{2} \left(\right. b + c \left.\right)\) và \(c^{2} - c a + a^{2} \geq \frac{1}{2} \left(\right. c + a \left.\right)\). Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được
\(a^{2} - a b + b^{2} + b^{2} - b c + c^{2} + c^{2} - c a + a^{2} \geq \frac{1}{2} \left[\right. \left(\right. a + b \left.\right) + \left(\right. b + c \left.\right) + \left(\right. c + a \left.\right) \left]\right.\) \(= \frac{1}{2} \cdot 2 \left(\right. a + b + c \left.\right) = a + b + c = 3.\)
Ta có
\(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. \left(\right. 2 a - b \left.\right)^{2} + 3 b^{2} \left.\right) \geq 0.\)Vì \(\left(\right. 2 a - b \left.\right)^{2} \geq 0\) và \(3 b^{2} \geq 0\) nên \(a^{2} - a b + b^{2} \geq 0\)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
{(2a−b)2=0,b^2=0, hay
\(\){2a−b=0, b=0,
suy ra \(a = b = 0\)Tiếp theo,
\(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. a - b \left.\right)^{2} \left.\right) .\)Do \(3 \left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq 0\), suy ra
\(a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} .\)Vậy
\(a^2-ab+b^2\geq\frac{1}{4}\left(\right.a+b\left.\right)^2\)