a: Ta có: \(A M = M B = \frac{A B}{2}\)

\(D N = N C = \frac{D C}{2}\)

mà AB=DC(ABCD là hình bình hành)

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

=>AD//MN

mà AD\(\bot\)AC

nên MN\(\bot\)AC

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Hình bình hành AMCN có AC\(\bot\)MN

nên AMCN là hình thoi

Gọi O  là giao điểm của AC  và BD  khi đó AC⊥BD  (Vì O  là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Xét ΔABE và ΔADF có:

AB = AD (Vì ABCD là hình thoi)

ˆB=ˆD      (Vì ABCD là hình thoi)

BE = DF (giả thiết)

Suy ra ΔABE=ΔADF(c.g.c)

Suy ra ˆA1=ˆA4  (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của ˆA⇒ˆA2=ˆA3.

Do đó AO là phân giác của ˆHAG.    (*)

Xét ΔAGH  có:

AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên ΔAGH cân tại A.

Suy ra HO = OG   (1)

Lại có AO = OC  ( Vì ABCD  là hình thoi có trung điểm O )    (2)

Từ (1) và (2)  suy ra AGCH  là hình bình hành. (**)

Từ (*)  và (**)  ta được tứ giác AGCH  là hình thoi. (đpcm)