Dữ kiện:

• Độ cứng lò xo: k = 100 \, \text{N/m}
• Chiều dài tự nhiên của lò xo: l_0 = 25 \, \text{cm}
• Khối lượng vật: m = 0{,}5 \, \text{kg}
• Gia tốc trọng trường: g = 9{,}8 \, \text{m/s}^2

a. Độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng

Tại vị trí cân bằng, lực đàn hồi cân bằng với trọng lực:

k \cdot \Delta l = m \cdot g \Rightarrow \Delta l = \frac{mg}{k} = \frac{0{,}5 \cdot 9{,}8}{100} = \frac{4{,}9}{100} = \boxed{0{,}049 \, \text{m} = 4{,}9 \, \text{cm}}

b. Biên độ dao động khi độ dãn cực đại là 10 cm

Độ dãn cực đại là khoảng cách lớn nhất từ vị trí tự nhiên đến vị trí lò xo giãn. Khi dao động, vị trí cực đại là:

\Delta l_{\text{cực đại}} = \Delta l_{\text{cân bằng}} + A \Rightarrow A = \Delta l_{\text{cực đại}} - \Delta l = 10 \, \text{cm} - 4{,}9 \, \text{cm} = \boxed{5{,}1 \, \text{cm}}

c. Lực kéo F làm lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng

Độ dãn thêm \Delta l{\prime} = 6 \, \text{cm} = 0{,}06 \, \text{m}

Lực đàn hồi tương ứng:

F = k \cdot \Delta l{\prime} = 100 \cdot 0{,}06 = \boxed{6 \, \text{N}}

Tóm tắt kết quả:

• a) Độ dãn tại cân bằng: 4,9 cm
• b) Biên độ dao động: 5,1 cm
• c) Lực kéo F: 6 N

Chúng ta sẽ giải bài này theo từng phần, với các công thức sau:

• Tốc độ góc: \omega = \frac{2\pi}{T}

• Tốc độ dài: v = \omega R

Trong đó:

• T: chu kỳ (tính bằng giây),

• R: bán kính quỹ đạo (tính bằng mét),

• \omega: tốc độ góc (rad/s),

• v: tốc độ dài (m/s)

⸻

a) Chuyển động tròn của Trái Đất quanh Mặt Trời

• Bán kính quỹ đạo: R = 150 \, \text{triệu km} = 1{,}5 \times 10^{11} \, \text{m}

• Chu kỳ: T = 365{,}25 \, \text{ngày} = 365{,}25 \times 24 \times 3600 \, \text{s} = 31{,}557{,}600 \, \text{s}

Tốc độ góc:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{31{,}557{,}600} \approx 1{,}99 \times 10^{-7} \, \text{rad/s}

Tốc độ dài của tâm Trái Đất:

v = \omega R = 1{,}99 \times 10^{-7} \times 1{,}5 \times 10^{11} \approx 29{,}8 \times 10^3 = \boxed{29{,}800 \, \text{m/s}}

⸻

b) Chuyển động tự quay quanh trục – điểm tại xích đạo

• Bán kính quay tại xích đạo: R = 6400 \, \text{km} = 6{,}4 \times 10^6 \, \text{m}

• Chu kỳ: T = 1 \, \text{ngày} = 86400 \, \text{s}

Tốc độ góc:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{86400} \approx 7{,}27 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}

Tốc độ dài tại xích đạo:

v = \omega R = 7{,}27 \times 10^{-5} \times 6{,}4 \times 10^6 \approx \boxed{465 \, \text{m/s}}

⸻

c) Chuyển động tự quay – điểm tại vĩ tuyến 30°

Tại vĩ tuyến 30^\circ, bán kính quỹ đạo là:

R{\prime} = R \cdot \cos(30^\circ) = 6{,}4 \times 10^6 \cdot \cos(30^\circ) \approx 6{,}4 \times 10^6 \cdot 0{,}866 \approx 5{,}54 \times 10^6 \, \text{m}

Tốc độ góc vẫn là:

\omega = 7{,}27 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}

Tốc độ dài:

v = \omega R{\prime} = 7{,}27 \times 10^{-5} \times 5{,}54 \times 10^6 \approx \boxed{403 \, \text{m/s}}

⸻

Tóm tắt kết quả:

• a) \omega \approx 1{,}99 \times 10^{-7} \, \text{rad/s},\ v \approx 29{,}800 \, \text{m/s}

• b) \omega \approx 7{,}27 \times 10^{-5} \, \text{rad/s},\ v \approx 465 \, \text{m/s}

• c) \omega \approx 7{,}27 \times 10^{-5} \, \text{rad/s},\ v \approx 403 \, \text{m/s}

Dữ kiện chung:

• m_1 = 500 \, \text{g} = 0{,}5 \, \text{kg}
• m_2 = 300 \, \text{g} = 0{,}3 \, \text{kg}
• v_1 = 4 \, \text{m/s}
• Sau va chạm, hai bi dính vào nhau và chuyển động với vận tốc v = 3 \, \text{m/s}

a. Hai bi chuyển động cùng chiều, chuyển động sau va chạm theo hướng ban đầu của bi 1

Ta xét chuyển động theo trục Ox (vì các chuyển động cùng phương).

Bảo toàn động lượng:

m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v

Thay số:

0{,}5 \cdot 4 + 0{,}3 \cdot v_2 = (0{,}5 + 0{,}3) \cdot 3

2{,}0 + 0{,}3 v_2 = 2{,}4

0{,}3 v_2 = 0{,}4 \Rightarrow v_2 = \frac{0{,}4}{0{,}3} \approx \boxed{1{,}33 \, \text{m/s}}

b. Sau va chạm, hai bi dính vào nhau và chuyển động vuông góc với hướng ban đầu của bi 1

Trường hợp này là va chạm hai chiều. Gọi hướng ban đầu của bi 1 là trục Ox, hướng chuyển động sau va chạm là trục Oy.

Vì sau va chạm, hệ chuyển động theo Oy, nên tổng động lượng theo Ox sau va chạm bằng 0:

m_1 v_1 + m_2 v_{2x} = 0 \Rightarrow 0{,}5 \cdot 4 + 0{,}3 \cdot v_{2x} = 0 \Rightarrow 2{,}0 + 0{,}3 v_{2x} = 0 \Rightarrow v_{2x} = \frac{-2{,}0}{0{,}3} = \boxed{-6{,}67 \, \text{m/s}}

Dấu âm nghĩa là bi thứ hai chuyển động ngược chiều với bi 1 trước va chạm.

Kết luận:

• a. v_2 = \boxed{1{,}33 \, \text{m/s}} (cùng chiều với bi 1)
• b. v_2 = \boxed{-6{,}67 \, \text{m/s}} (ngược chiều với bi 1, khi xét thành phần theo Ox)