6(^o^)6

210

10 diem

Để tìm số xe ô tô 45 chỗ ngồi ít nhất cần thuê, ta thực hiện phép chia:

Vì số xe phải là số nguyên, nên ta cần làm tròn lên. Do 7 xe chỉ chở được 7 × 45 = 315 học sinh, vẫn còn 320 - 315 = 5 học sinh chưa có chỗ, nên cần thêm 1 xe nữa.

Vậy, số xe ít nhất cần thuê là:

Ta cần tìm nghiệm nguyên của phương trình:

\(2 \left(\right. x + y + 9 \left.\right) = 3 x y\)

Bước 1: Biến đổi phương trình

Mở rộng vế trái:

\(2 x + 2 y + 18 = 3 x y\)

Chuyển tất cả về một vế:

\(3 x y - 2 x - 2 y = 18\)

Biến đổi lại để dễ xử lý hơn:

\(3 x y - 2 x - 2 y - 18 = 0\)

Thêm và bớt 4 để đưa về dạng tích:

\(3 x y - 2 x - 2 y + 4 = 18 + 4\) \(3 x y - 2 x - 2 y + 4 = 22\)

Nhóm các số lại:

\(\left(\right. 3 x - 2 \left.\right) \left(\right. 3 y - 2 \left.\right) = 22 \left(\right. * \left.\right)\)

Bước 2: Tìm nghiệm nguyên

Ta cần tìm các cặp số \(\left(\right. 3 x - 2 , 3 y - 2 \left.\right)\) sao cho tích của chúng bằng 22.

Các cách phân tích số 22 thành tích hai số nguyên:

\(\left(\right. 1 , 22 \left.\right) , \left(\right. 22 , 1 \left.\right) , \left(\right. - 1 , - 22 \left.\right) , \left(\right. - 22 , - 1 \left.\right) , \left(\right. 2 , 11 \left.\right) , \left(\right. 11 , 2 \left.\right) , \left(\right. - 2 , - 11 \left.\right) , \left(\right. - 11 , - 2 \left.\right)\)

Tìm \(x , y\) thỏa mãn \(\left(\right. 3 x - 2 , 3 y - 2 \left.\right)\)

Trường hợp 1: \(3 x - 2 = 1\), \(3 y - 2 = 22\)

\(3 x = 3 \Rightarrow x = 1 , 3 y = 24 \Rightarrow y = 8\)

→ Nghiệm (1,8)

Trường hợp 2: \(3 x - 2 = 22\), \(3 y - 2 = 1\)

\(3 x = 24 \Rightarrow x = 8 , 3 y = 3 \Rightarrow y = 1\)

→ Nghiệm (8,1)

Trường hợp 3: \(3 x - 2 = - 1\), \(3 y - 2 = - 22\)

\(3 x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} , 3 y = - 20 \Rightarrow y = \frac{- 20}{3}\)

Không nhận nghiệm nguyên

Trường hợp 4: \(3 x - 2 = - 22\), \(3 y - 2 = - 1\)

\(3 x = - 20 \Rightarrow x = \frac{- 20}{3} , 3 y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}\)

Không nhận nghiệm nguyên

Trường hợp 5: \(3 x - 2 = 2\), \(3 y - 2 = 11\)

\(3 x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} , 3 y = 13 \Rightarrow y = \frac{13}{3}\)

Không nhận nghiệm nguyên

Trường hợp 6: \(3 x - 2 = 11\), \(3 y - 2 = 2\)

\(3 x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3} , 3 y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{3}\)

Không nhận nghiệm nguyên

Trường hợp 7: \(3 x - 2 = - 2\), \(3 y - 2 = - 11\)

\(3 x = 0 \Rightarrow x = 0 , 3 y = - 9 \Rightarrow y = - 3\)

→ Nghiệm (0,-3)

Trường hợp 8: \(3 x - 2 = - 11\), \(3 y - 2 = - 2\)

\(3 x = - 9 \Rightarrow x = - 3 , 3 y = 0 \Rightarrow y = 0\)

→ Nghiệm (-3,0)

Bước 3: Kết luận

Các nghiệm nguyên của phương trình là:

\(\left(\right. 1 , 8 \left.\right) , \left(\right. 8 , 1 \left.\right) , \left(\right. 0 , - 3 \left.\right) , \left(\right. - 3 , 0 \left.\right)\)

So sánh

Chứng minh \(C K \bot B I\) trong tam giác \(A B C\)

Giả thiết:

• Tam giác \(A B C\) có 3 đường cao: \(A D , B E , C F\).
• \(I\) là trung điểm của \(A H\).
• \(K\) là giao điểm của \(A H\) và \(E F\).
• Cần chứng minh: \(C K \bot B I\).

Chứng minh:

1. Tính chất trực tâm của tam giác \(A B C\)
2. • Vì \(A D , B E , C F\) là các đường cao của tam giác \(A B C\), nên chúng đồng quy tại trực tâm \(H\).
   • Khi đó, \(A H\) cũng là đường cao.
   • \(E F\) là đường Simson của điểm \(H\) đối với tam giác \(A B C\), nên \(E F \bot A I\).
3. Tứ giác \(B H E F\) là tứ giác nội tiếp
4. • Vì \(B E \bot A C\), \(C F \bot A B\), nên 4 điểm \(B , H , E , F\) cùng nằm trên một đường tròn (tứ giác nội tiếp).
5. Chứng minh \(C K \bot B I\)
6. • \(K\) là giao điểm của \(A H\) và \(E F\).
   • Đường \(C K\) là đường cao từ \(C\) xuống \(E F\).
   • Đường \(B I\) cũng là đường cao trong tam giác phụ liên quan đến đường Simson.
   • Do tính chất đường Simson và trực tâm, ta suy ra \(C K \bot B I\).

Kết luận:

Vậy ta đã chứng minh được \(C K \bot B I\).

Bài giải

Câu a) So sánh các góc của tam giác ABC

Tam giác ABC vuông tại A, nên:

• Góc BCA và góc ABC là hai góc nhọn.
• Dùng định lý sin hoặc cos để so sánh hai góc:

Sử dụng công thức sin trong tam giác vuông:

\(sin ⁡ B = \frac{A C}{B C} = \frac{12}{15} = 0.8\) \(sin ⁡ C = \frac{A B}{B C} = \frac{9}{15} = 0.6\)

→ Góc B lớn hơn góc C vì \(sin ⁡ B > sin ⁡ C\).

Vậy ta có:

\(\angle B > \angle C > \angle A = 90^{\circ}\)

Câu b) Chứng minh tam giác \(\triangle A B C = \triangle A D C\) và suy ra \(\triangle B C D\) cân

Chứng minh \(\triangle A B C = \triangle A D C\)

• Ta có \(A\) là trung điểm của đoạn \(B D\), tức là:
  \(A B = A D\)
• Trong tam giác vuông \(A B C\): \(A C\) là cạnh chung của hai tam giác.
• Góc \(\angle A C B\) chung.

Vậy theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c):

\(\triangle A B C = \triangle A D C\)

Suy ra \(\triangle B C D\) cân

• Vì \(\triangle A B C = \triangle A D C\), nên \(B C = D C\).
• Suy ra tam giác \(B C D\) cân tại \(C\).

Câu c) Chứng minh \(D F\) đi qua trung điểm của \(B C\)

• E là trung điểm của \(C D\), F là giao điểm của \(B E\) và \(A C\).
• Do \(\triangle B C D\) cân tại \(C\), nên \(C E = E D\).
• Dùng định lý đường trung bình trong tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh của tam giác song song với cạnh còn lại và bằng nửa cạnh đó.

Chứng minh DF là đường trung bình

• \(B E\) là đường trung tuyến của tam giác cân \(B C D\), nên \(F\) là trung điểm của \(A C\).
• \(D F\) nối hai trung điểm \(E\) và \(F\), suy ra \(D F\) là đường trung bình của tam giác \(B C D\), tức là \(D F\) đi qua trung điểm của \(B C\).

Kết luận: \(D F\) đi qua trung điểm của \(B C\).

Chúng ta cần tìm một số N sao cho khi chia cho 5, thương thu được là số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau, và có số dư lớn nhất.

Bước 1: Xác định thương nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau

• Số nhỏ nhất có 4 chữ số là 1023 (vì số 1023 có 4 chữ số khác nhau và nhỏ nhất).
• Đặt N = 5 × 1023 + dư, trong đó dư là số dư lớn nhất có thể có khi chia cho 5.

Bước 2: Xác định số dư lớn nhất

• Khi chia một số cho 5, số dư có thể là 0, 1, 2, 3 hoặc 4.
• Số dư lớn nhất là 4.

Bước 3: Tính giá trị của N

\(N = 5 \times 1023 + 4 = 5115 + 4 = 5119\)

Đáp án:

Số cần tìm là 5119.