Để chứng minh \(\frac{3}{5} < S < \frac{4}{5}\) với \(S = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \dots + \frac{1}{60}\), chúng ta sẽ chia tổng \(S\) thành các nhóm và sử dụng phương pháp đánh giá chặn trên, chặn dưới.Số lượng số hạng của \(S\) là: \(60 - 31 + 1 = 30\) số hạng.1. Chứng minh \(S < \frac{4}{5}\)Chia 30 số hạng của \(S\) thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 10 số hạng:Nhóm 1: \((\frac{1}{31} + \dots + \frac{1}{40}) < 10 \cdot \frac{1}{30} = \frac{1}{3}\)Nhóm 2: \((\frac{1}{41} + \dots + \frac{1}{50}) < 10 \cdot \frac{1}{40} = \frac{1}{4}\)Nhóm 3: \((\frac{1}{51} + \dots + \frac{1}{60}) < 10 \cdot \frac{1}{50} = \frac{1}{5}\)Cộng lại ta được:\(S<\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{20+15+12}{60}=\frac{47}{60}\)Vì \(\frac{47}{60} < \frac{48}{60} = \frac{4}{5}\) nên \(S < \frac{4}{5}\).2. Chứng minh \(S > \frac{3}{5}\)Chia 30 số hạng của \(S\) thành 3 nhóm tương tự nhưng đánh giá theo số hạng nhỏ nhất trong mỗi nhóm:Nhóm 1: \((\frac{1}{31} + \dots + \frac{1}{40}) > 10 \cdot \frac{1}{40} = \frac{1}{4}\)Nhóm 2: \((\frac{1}{41} + \dots + \frac{1}{50}) > 10 \cdot \frac{1}{50} = \frac{1}{5}\)Nhóm 3: \((\frac{1}{51} + \dots + \frac{1}{60}) > 10 \cdot \frac{1}{60} = \frac{1}{6}\)Cộng lại ta được:\(S>\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{15+12+10}{60}=\frac{37}{60}\)Vì \(\frac{37}{60} > \frac{36}{60} = \frac{3}{5}\) nên \(S > \frac{3}{5}\).Kết luận: Từ hai điều trên, ta có \(\frac{3}{5} < S < \frac{4}{5}\) (đpcm).

Quy ước: Mỗi biểu tượng quả bóng tương ứng với 5 quả bóng.a) Số lượng bóng rổ bán được trong từng tháng:Tháng 1: Có 3 biểu tượng \(\rightarrow \) \(3 \times 5 = 15\) (quả).Tháng 2: Có 4 biểu tượng \(\rightarrow \) \(4 \times 5 = 20\) (quả).Tháng 3: Có 2 biểu tượng \(\rightarrow \) \(2 \times 5 = 10\) (quả).b) Tổng cộng số bóng bán được trong ba tháng:Tổng số biểu tượng: \(3 + 4 + 2 = 9\) biểu tượng.Tổng số bóng: \(9 \times 5 = 45\) (quả).(Hoặc: \(15 + 20 + 10 = 45\) quả).c) Tháng 2 bán được nhiều hơn tháng 3 bao nhiêu quả:Số bóng chênh lệch: \(20 - 10 = 10\) (quả).(Hoặc: Tháng 2 hơn tháng 3 là 2 biểu tượng \(\rightarrow \) \(2 \times 5 = 10\) quả).d) Tỉ số giữa số lượng bóng bán được trong tháng 1 và tháng 2:Tỉ số là: \(\frac{15}{20} = \frac{3}{4}\) (hoặc 0,75).

Bài 1: Quan sát hình vẽDựa vào hình vẽ, ta thấy điểm \(O\) nằm trên hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\). Các độ dài cho trước là: \(OA = 3\text{ cm}\), \(OB = 3\text{ cm}\), \(OC = 3\text{ cm}\), và \(OD = 4\text{ cm}\).a) Điểm \(O\) thuộc những đoạn thẳng nào?Điểm \(O\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) và đoạn thẳng \(CD\).b) Điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nào?Điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) vì \(O\) nằm giữa $A, B$ và \(OA = OB = 3\text{ cm}\).Lưu ý: \(O\) không là trung điểm của \(CD\) vì \(OC = 3\text{ cm}\) khác \(OD = 4\text{ cm}\).Bài 2:a) Dùng thước đo góc xác định số đo góc \(xOy\):Khi đặt thước đo góc trùng với tâm \(O\) và cạnh \(Ox\) nằm trên vạch \(0^{\circ }\), bạn sẽ thấy cạnh \(Oy\) chỉ vào vạch \(30^{\circ }\) (đây là số đo phổ biến cho hình vẽ minh họa này, bạn nên thực hành đo trực tiếp trên giấy hoặc màn hình).b) Vẽ góc \(mAn\) có số đo bằng \(150^{\circ }\):Vẽ tia \(Am\).Đặt tâm thước đo góc trùng với điểm \(A\), vạch \(0^{\circ }\) trùng với tia \(Am\).Đánh dấu điểm \(n\) tại vạch \(150^{\circ }\) trên thước.Kẻ tia \(An\). Ta được góc \(mAn = 150^\circ\) (đây là một góc tù).

) \(\frac{5}{17} - \frac{25}{31} + \frac{12}{17} + \frac{-6}{31}\)Để tính hợp lý, ta nhóm các phân số có cùng mẫu số:\(\left(\frac{5}{17}+\frac{12}{17}\right)+\left(\frac{-25}{31}+\frac{-6}{31}\right)\)\(= \frac{17}{17} + \frac{-31}{31}\)\(= 1 + (-1) = \mathbf{0}\)b) \(\frac{17}{8}:\left(\frac{27}{8}+\frac{11}{4}\right)\)Thực hiện phép tính trong ngoặc trước:Quy đồng: \(\frac{11}{4} = \frac{22}{8}\)Trong ngoặc: \(\frac{27}{8} + \frac{22}{8} = \frac{49}{8}\)Thực hiện phép chia: \(\frac{17}{8} : \frac{49}{8} = \frac{17}{8} \cdot \frac{8}{49} = \mathbf{\frac{17}{49}}\)c) \(\frac{1}{5} \cdot \frac{11}{16} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{16} + \frac{4}{5}\)Sử dụng tính chất phân phối để nhóm \(\frac{1}{5}\) làm nhân tử chung:\(\frac{1}{5}\cdot \left(\frac{11}{16}+\frac{5}{16}\right)+\frac{4}{5}\)\(= \frac{1}{5} \cdot \frac{16}{16} + \frac{4}{5}\)\(= \frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{4}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = \mathbf{1}\)d) \(\frac{5}{6} : 25 - 2 + \frac{-7}{3} \cdot \frac{2}{7}\)Thực hiện nhân chia trước, cộng trừ sau:\(\frac{5}{6} : 25 = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{30}\)\(\frac{-7}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{-2}{3}\)Biểu thức trở thành: \(\frac{1}{30} - 2 - \frac{2}{3}\)Quy đồng mẫu số chung là 30: \(\frac{1}{30} - \frac{60}{30} - \frac{20}{30} = \frac{1 - 60 - 20}{30} = \mathbf{-\frac{79}{30}}\)

Miếng bìa có diện tích 4 m

a) Hàng rào xung quanh là 8 m

b) Lợi ích là 35 triệu đồng

Có thể chia thành 24 tổ

a)25 : x = -2^2 - 1

=-5

b) 3.3.3(x+1)=-35

=-2,296

a) 99 - (74 - 129) : 5 + 2022^0

=99- (-55) ÷5+20221

=111

b)(-35) + 127 + (-65) + 73

= [(-35) + (-65)] + (127 + 73)

= (-100) + 200

= 100