Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{C I}{C F} = \frac{E C}{D E}\)

Kết luận: \(\frac{C I}{C F} = \frac{E C}{D E}\).

Bài 1:

a) Vì \(A K\) là đường cao, ta có hai tam giác vuông△ \(K B A\) và △\(A B C\).

Xét △ \(K B A\) và △\(A B C\).

\(\angle K B A = \angle A B C\) (góc chung).

\(\Rightarrow\) △KBA đồng dạng với \(\triangle A B C\) góc - góc (G.G).

Viết tỉ số đồng dạng:

\(\triangle KBAᔕ\triangle ABC\Rightarrow\frac{K B}{A B}=\frac{B A}{B C}=\frac{A K}{A C}\)

b) Do \(△KBA∼△ABC,\), từ tỉ số đồng dạng ta có: \(\frac{A K}{A C} = \frac{K B}{A B}\) \(\frac{A K}{A B} = \frac{K C}{A C}\)

Nhân hai đẳng thức trên vế với vế: \(\left(\right. \frac{A K}{A C} \times \frac{A K}{A B} \left.\right) = \left(\right. \frac{K B}{A B} \times \frac{K C}{A C} \left.\right)\) \(A K^{2} = K B \cdot K C\)

Bài 2:

a) Do \(D C\) là đường cao, ta có hai tam giác vuông \(\hat{CED}\) và \(\hat{DEF}\)

\(\hat{CED}=\hat{DEF}\) (góc chung)

\(\triangle CEDᔕ\triangle DEF\) (G.G)

Tỉ số đồng dạng: \(\triangle CED\thicksim\triangle DEF\Rightarrow\frac{CE}{DE}=\frac{ED}{FD}=\frac{DC}{EF}\)

Từ đồng dạng \(\triangle CEDᔕ\triangle DEF\), ta có: \(\frac{C E}{D E} = \frac{D C}{E F}\)

Từ đồng dạng \(\triangle CDFᔕ\triangle DEF\), ta có: \(\frac{C F}{D F} = \frac{D C}{E F}\)

Nhân hai vế của các đẳng thức trên: \(\left(\right. \frac{C E}{D E} \times \frac{C F}{D F} \left.\right) = \left(\right. \frac{D C}{E F} \times \frac{D C}{E F} \left.\right)\) \(C E \cdot C F = D C^{2}\)

Kết luận: \(D C^{2} = E C \cdot C F\).