ta có góc MBC= 90 độ- 60 độ= 30 độ

vì MB=AB=BC=> tam giác MBC cân tại B

=> góc MCB=(180 độ- góc MBC):2= (180 độ -30 độ):2= 75 độ

=> góc MCD= 90 độ- góc MCB= 90 độ- 75 độ=15 độ

8. ta gọi tia sáng chiếu tới gương thứ nhất là SA(A chạm gương)

=> AB là tia phản xạ và RB và tia song song với tia chiếu ban đầu

mà ta có: góc xAS+ góc SAB+ góc BAO=180 độ

mà theo đề bài góc xAS= góc BAO

=> góc SAB+2 x góc BAO= 180 độ

=> góc SAB= 180 độ - 2 x góc BAO

CMTT: => góc ABR+ góc RBy+ góc ABO= 180 độ

=> góc ABR+ 2 x góc ABO= 180 độ

=> góc ABR= 180 độ- 2 x góc ABO

mà góc SAB+ góc ABR= 180 độ( hai góc trong cùng phía song song với nhau)

=> ( 180 độ - 2 x góc BAO)+( 180 độ- 2 x góc ABO)=180 độ

360 độ- 2 x góc BAO- 2 x góc BAO= 180 độ

2 x góc BAO- 2 x góc BAO= 180 độ

góc BAO- góc BAO= 90 độ

=> tam giác BAO vuông

=> góc xOy = 90 độ

off đi học thêm tới 9 giờ đây, tớ thấy bài này khá khó nếu giải theo kiểu lớp 6 ko bạn nên chờ người khác:v

a) vì AD là tia phân giác của góc BAC

=> góc DAB = góc DAC= góc BAC/2

mà ta có góc ADB=góc DAC+ góc C

thay góc DAC= góc DAB vào ta có:

góc ADB= góc DAB+ góc C

vì góc C>0

=> góc ADB> góc DAB

=> AB>BD9đpcm)

b) ta có góc A+ góc C= 180 độ- góc B

vì góc B>60 độ

=> góc A+ góc C> 120 độ

mà góc ADB= góc DAC + góc C= góc A/2+ góc C

góc ADB= ( góc A+ 2 x góc C)/2=( góc A+ góc C)/2 + góc C/2

do góc A+ góc C>120 độ và góc C>0 độ

=> góc ADB> 120 độ+0 độ= 60 độ

vì góc ADB>60 độ mà góc B < 60 độ

=> góc ADB> góc B

=> AB>AD

vì AD là tia phân giác của góc BAC

=> \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow BD=CD\cdot\frac{AB}{AC}\)

vì AM là tia phân giác của góc DAC

=> \(\frac{DM}{MC}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow MC=DM\cdot\frac{AC}{AD}\)

ta có CD= \(DM+MC=DM+DM\cdot\frac{AC}{AD}=DM\left(1+\frac{AC}{AD}\right)\)

thay vào BD=\(CD\cdot\frac{AB}{AC}\) ta có:

\(BD=DM\left(1+\frac{AC}{AD}\right)\cdot\frac{AB}{AC}=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}\right)\)

mà BC=\(BD+CD=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}\right)+DM\left(1+\frac{AC}{AD}_{}\right)\)

\(BC=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}+\frac{AC}{AD}+1\right)\)

áp dụng bđt cauchy cho hai số hạng đầu và số hạng cuối trong ngoặc

ta có \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}\ge2\sqrt{\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AC}{AD}}=2\sqrt{\frac{AB}{AD}}\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}\ge\frac{AB}{AD}+2\sqrt{\frac{AB}{AD}}\)

vì AB>AD=> \(\frac{AB}{AD}>1;\sqrt{\frac{AB}{AD}}>1\)

=> \(\frac{AB}{AD}+2\sqrt{\frac{AB}{AD}}>1+2=3\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}>3\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}+1>4\)

=> \(DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}+1\right)>4DM\)

=> \(BC>4DM\left(đpcm\right)\)

câu 4:

1) xét tam giác BEF và tam giác DEA có:

góc EBF = góc EDA(AD//BF)

góc BEF = góc DEA

=> △BEF~△DEA(g.g)

a) từ 1) => \(\frac{EF}{AE}=\frac{BE}{DE}\) (1)

xét tam giác ABE và tam giác GDE

góc BAE = góc DGE

góc AEB = góc DEG( đối đỉnh)

=> △ABE~△GDE(g.g)

=> \(\frac{BE}{DE}=\frac{AE}{EG}\) (2)

từ(1)(2)=> \(\frac{EF}{AE}=\frac{AE}{EG}\)

=> \(AE^2=EF\cdot EG\)

b) ta có \(AE^2=\left(AF-AE\right)\left(AG-AE\right)\)

\(AE^2=AF\cdot AG-AF\cdot AE-AG\cdot AE+AE^2\)

=> \(AF\cdot AG-AE\left(AF+AG\right)=0\)

\(AE\left(AF+AG\right)=AF\cdot AG\)

chia cả hai vế cho AE.AF.AG ta có:

\(\frac{AE\cdot\left(AF+AG\right)}{AE\cdot AF\cdot AG}=\frac{AF\cdot AG}{AE\cdot AF\cdot AG}\)

\(\frac{AF+AG}{AF\cdot AG}=\frac{1}{AE}\)

\(\frac{1}{AG}+\frac{1}{AF}=\frac{1}{AE}\left(đpcm\right)\)

câu 1:

a) xét tam giác ABC có:

D là trung điểm AB

E là trung điểm AC

=> DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> \(DE=\frac12BC\) và DE//BC

=> DE//BF và \(DE=BF\)

=> DEBF là hình bình hành

vì DE//BC

=> DEBC là hình thang

b) để BDEC là hình thang vuông

=> góc B= 90 độ hoặc góc C= 90 độ

=> △ABC vuông tại B hoặc C

để BDEC là hình thang cân

=> góc B= góc C

=> △ABC cân tại A

c) để BDEF là hình chữ nhật

=> góc B = 90 độ

=> △ABC vuông tại B

để BDEF là hình thoi

=> BD=BF

2BD=2BF

AB=BC

=> △ABC cân tại B

để BDEF là hình vuông

=> vừa có tính chất hình chữ nhật với tính chất hình thoi

=> △ABC vuông cân tại B

câu 2:

a) xét tam giác BAH có:

I là trung điểm của AB

N là trung điểm của BH

=> IN là đường trung bình của tam giác BAH

=> IN//AH và \(IN=\frac12AH\)

CMTT: => KM là đường trung bình của tam giác AHC

=> KM//AH và \(KM=\frac12AH\)

từ các điều trên => IN=KM và IN//KM

=> tứ giác INMK là hình bình hành

mà IN//AH

=> IN⊥BM

=> tứ giác INMK là hình chữ nhâtj

=> IM=NK

b) gọi giao của hai đường chéo là D

=> D là trung điểm của IM và NK

xét tam giác IBM có:

P là trung điểm của IB

D là trung điểm của IM

=> DP là đường trung bình của tam giác IBM

=> DP//BM hay DP//BC

CMTT: => DQ là đường trung bình của tam giác KNC

=> DQ//NC hay DQ//BC

theo tiên đề Ơ cơ lít( mik ko nhớ tên :))

=> qua D chỉ vẽ dc duy nhất một đường thẳng song song với BC

=> PQ đi qua O

vậy IM,NK,PQ đồng quy tại O(đpcm)

sửa đề vì em sao chép bị lỗi rồi kìa:v: Cho đường thẳng xy đi qua điểm O.Vẽ tia Oz sao cho xOz= 135 độ.Vẽ tia Ot sao cho yOt= 90 độ và zOt= 135 độ. Gọi Ov là tia phân giác của góc xOt. Các góc xOv và góc yOz cso phải là hai góc đối đỉnh không?Vì sao?

ta có : góc xOz+ góc yOz=180 độ

135 độ+ góc yOz= 180 độ

góc yOz= 180 độ- 135 độ= 45 độ

ta có góc xOt+ góc yOt= 180 độ

góc xOt= 180 độ -90 độ= 90 độ

mà Ov là tia phân giác của góc xOt

=> góc xOv= 90 độ/2= 45 độ

nếu Ot và Oz cùng nằm nằm trên cùng một nửa mặt phẳng

=> góc zOt= góc yOt- góc yOz= 90 độ- 45 độ=45 độ( mâu thuẫn với giả thiết zOt= 135 độ)

vậy Ot và Oz phải nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là xy

vì Ov là phân giác của góc xOt nên Ov nằm cùng phía với Ot

ta cso vOz= xOv+xOz= 45 độ+ 135 độ= 180 độ

=> Ov và Oz là hai tia đối nhau

vậy từ các điều trên góc xOv và góc yOz là hai góc đối đỉnh

gọi số cần tự nhiên cần tìm là x( \(1000\le x\le9999\) )

nếu vt thêm một số 1 vào đằng trước ta có giá trị mới là: 10 000+x

nếu vt thêm một số 1 vào đằng sau thì số đó gấp 10 lần số mới và cộng 1: (10 000+x) x 10+1

= 100 001 +10x

mà theo đề bài số đó gấp 21 lần số tự nhiên cần tìm

=> 100 001+10x= 21x

100 001= 21x-10x

100 001= 11x

x=9091(TMĐK)

vậy số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là 9091

xét tam giác ACH có:

góc HAC+ góc ACH= 90 độ

thay góc ACH= 55 độ

=> góc HAC+ 55 độ= 90 độ

góc HAC= 35 độ

xét tam giác AIK có:

góc KAI+ góc KIA= 90 độ

mà góc KAI hay chính là góc HAC= 35 độ thay vào ta có:

góc KIA+35 độ= 90 độ

=> góc KIA= 55 độ

mà góc BIH= góc KIA( đối đỉnh)

=> góc BIH= 55 độ

mà góc BIH+ góc HIK= 180 độ( kề bù)

thay góc BIH = 55 độ

55 độ+ góc HIK= 180 độ

góc HIK= 180 độ- 55 độ= 125 độ

ta có \(\frac12<\frac23\)

\(\frac34<\frac45\)

\(\frac56<\frac67\)

....

\(\frac{199}{200}<\frac{200}{201}\)

=> C< \(\frac23\times\frac45\times\frac67\times\ldots\times\frac{200}{201}\)

=> \(C\times C<\left(\frac23\times\frac45\times\frac67\times\ldots\times\frac{200}{201}\right)\times\left(\frac12\times\frac34\times\frac56\times\ldots\times\frac{199}{200}\right)\)

\(C^2<\frac{1\times2\times3\times4\times5\times6\times\ldots\times199\times200}{2\times3\times4\times5\times.\ldots\times200\times201}\)

\(C^2<\frac{1}{201}\)

gọi vận tốc xe máy là x( đơn vị : km/h , x>0)

vận tốc ô tô là: x+30( km/h)

thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: \(\frac{200}{x}\) ( giờ)

thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: \(\frac{200}{x+30}\) (giờ)

vì ô tô đến B sớm hơn xe máy 6 giờ nên ta có phương trình :

\(\frac{200}{x}-\frac{200}{x+30}=6\)

\(\Rightarrow\frac{200\left(x+30\right)}{x\left(x+30\right)}-\frac{200x}{x\left(x+30\right)}=\frac{6x\left(x+30\right)}{x\left(x+30\right)}\)

=> \(200\left(x+30\right)-200x=6x\left(x+30\right)\)

\(200x+6000-200x=6x^2+180x\)

\(6000=6x^2+180x\)

chia cả hai vế cho 6 ta có:

\(1000=x^2+30x\)

\(x^2+30x-1000=0\)

\(x^2+50x-20x-1000=0\)

\(x\left(x+50\right)-20\left(x+50\right)=0\)

\(\left(x+50\right)\left(x-20\right)=0\)

TH1: x+50=0

=>x= -50( KTM vì x>0)

TH2: x-20=0

=>x=20( TMĐK)

vậy vận tốc xe máy là 20km/h

vận tốc ô tô là: 20+30=50km/h