tổng của 48 số bằng 2025 là một số lẻ

vì tổng các số chẵn luôn là một số chẵn, nên để tổng của cả 48 số là một số lẻ thì số lượng các số lẻ phải là số lẻ

để số lượng số lẻ là nhiều nhất ta thử các giá trị lớn nhất giảm dần \(47;45;43;\ldots\) Để tổng ko vượt quá 2025 ,ta chọn các số lẻ và số chẵn nhỏ nhất có thể

TH1: có 47 số lẻ và 1 số chẵn

47 số lẻ nhỏ nhất là: 1;3;5;...;93

tổng cảu 47 số lẻ này là:(93+1) x 47:2=2209

vì 2209>2025( loại)

TH2: có 45 số lẻ và 3 số chẵn

45 số lẻ nhỏ nhất là: 1;3;5;...;89

tổng bằng: (89+1) x 45:2=2025

3 số chẵn nhỏ nhất :2;4;6

tổng bằng: 2+4+6=12

tổng nhỏ nhất của 48 số là : 2025+12=2037

vì 2037>2025( loại)

TH3: có 43 số lẻ và 5 số lẻ

43 số lẻ nhỏ nhất là: 1;3;5;...;85

tổng bằng:(85+1) x 43:2=1849

5 số chẵn nhỏ nhất là: 2;4;6;8;10

tổng bằng: 2+4+6+8+10=30

tổng bằng: 1849+30=1879

vì 1879<2025( thỏa mãn)

vậy trong 48 số nguyên dương đôi một khác nhau có nhiều nhất 43 số lẻ

bài 6:

ta có BM=NC=\(\frac12MN\Rightarrow MN=2BM=2NC\)

nếu cọi BC là 1 phần

=> tổng số phần cạnh BC là:

1+2+1=4( phần)

từ đó ta có:

\(BM=\frac14BC\)

\(NC=\frac14BC\)

\(BN=BM+MN=1+2+3\) (phần)

=> \(BN=\frac34BC\)

vì MI song song với AB nên chiều cao hạ từ I xuống AB bằng chiều cao hạ từ M xuống AB

=> \(S_{IAB}=S_{MAB}\)

tam giác MAB và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC,\(BM=\frac14BC\)

=> \(S_{MAB}=\frac14S_{ABC}\)

=>\(S_{IAB}=\frac14S_{ABC}\)

vì NI song song với AC nên chiều cao hạ từ I xuống AC bằng chiều cao hạ từ N xuống AC

=> \(S_{IAC}=S_{NAC}\)

tam giác NAC và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC, \(NC=\frac14BC\)

=> \(S_{IAC}=\frac14S_{ABC}\)

diện tích tam giác IBC là:

\(S_{IBC}=S_{ABC}-S_{IAB}-S_{IAC}=S_{ABC}-\frac14S_{ABC}-\frac14S_{ABC}=\frac12S_{ABC}\)

vì tam giác IBC và tam giác ABC có chung đáy BC mà \(S_{IBC}=\frac12S_{ABC}\) nên chiều cao hạ từ I xuống BC bằng \(\frac12\) chiều cao hạ từ A xuống BC

tam giác BMI và tam giác ABC có đáy \(BM=\frac14BC\) và chiều cao hạ từ I xuống BC bằng \(\frac12\) chiều cao từ A hạ xuống BC

tỉ số diện tích là:

\(\frac14\cdot\frac12=\frac18\)

=> \(S_{BMI}=\frac18S_{ABC}\)

tam giác ABN và tam giác ABC có chung chiều cao từ A xuống BC, \(BN=\frac34BC\)

=> \(S_{ABN}=\frac34S_{ABC}\)

Ta có: \(S_{AIN}=S_{ABN}-S_{IAB}-S_{BNI}\)

thay các tỉ số vào ta có:

\(S_{AIN}=\frac34S_{ABC}-\frac14S_{ABC}-\frac38S_{ABC}=\frac18S_{ABC}\)

mà ta có \(S_{AIN}=10\operatorname{cm}^2\) nên

\(\frac18S_{ABC}=10\operatorname{cm}^2\Rightarrow S_{ABC}=10\cdot8=80\operatorname{cm}^2\)

=> \(S_{BMI}=\frac18S_{ABC}\Rightarrow S_{BMI}=\frac18\cdot80=10\operatorname{cm}^2\)

kết luận:

a) \(10\operatorname{cm}^2\)

b) \(\operatorname{80cm}^2\)

ĐKXĐ: 6-4x≠0

=> \(4x\) ≠6( luôn đúng với mọi x)

ta nhân 4 với biểu thức M như sau:

\(4\cdot M=\frac{4\left(x-1\right)}{6-4x}=\frac{4x-4}{6-4x}\)

\(4\cdot M=\frac{-6\left(6-4x\right)+6-4}{6-4x}\)

\(4\cdot M=\frac{-6\left(6-4x\right)+2}{6-4x}\)

\(4\cdot M=-1+\frac{2}{6-4x}\)

để M nguyên thì 4 x M phải là số nguyên

=> (6-4x)ϵ Ư(2)

=>(6-4x)∈{1;-1;2;-2}

lập bảng giá trị của x ta có:

với x=1 ta có M=\(\frac{\left(1-1\right)}{6\cdot4-1}=\frac02=0\left(TM\right)\)

với x=2 ta có M=\(\frac{\left(2-1\right)}{6\cdot4-1}=-\frac12\) ( loại)

vậy chỉ có số nguyên x duy nhất thỏa mãn đề bài là 1

số kẹo của Bình và Thúy là:

\(\frac{3}{14}+\frac{6}{14}=\frac{9}{14}\) ( kẹo)

tổng số kẹo đã chia cho 3 bạn là:

\(\frac{1}{10}+\frac{9}{14}=\frac{7}{70}+\frac{45}{70}=\frac{26}{35}\) ( kẹo)

số phần kẹo còn lại là:

\(1-\frac{26}{35}=\frac{9}{35}\) ( số phần)

số kẹo còn lại thực tế là:

\(100\) x \(\frac{9}{35}=\frac{180}{7}=25\frac57\)

vậy minh còn 25 chiếc kẹo và \(\frac57\) chiếc kẹo

A=\(\overline{ab}-\overline{ba}\)

A=\(\left(10\cdot a+b\right)-\left(10\cdot b+a\right)\)

A=\(10\cdot a+b-10\cdot b-a\)

A=\(9\left(a-b\right)\)

để A là một số chính phương mà \(9=3^3\)

=> (a-b) phải là một số chính phương

vì a,b là các số từ 1 đến 9 và a>b>0 nên a-b chỉ có thể nhận các giá trị từ 1 đến 8

Mà trong các số từ 1 đến 8 các số chính phương chỉ có 1 và 4

TH1: a-b=1=>a=b+1

TH2: a-b=4=>a=b+4

vì \(\overline{ab}\) là số nguyên tố nên b chỉ có thể là 1,3,7,9( các số lẻ và ko chia hết)

TH1: a=b+1

nếu b=1=> a=2=> \(\overline{ab}=21\) ( ko phải số nguyên tố vì 21⋮3)

nếu b=3=> a=4=> \(\overline{ab}=43\) ( thỏa mãn vì 43 là số nguyên tố)

nếu b=7=> a=8=> \(\overline{ab}=87\) ( ko phải số nguyên tố vì 87⋮3)

nếu b=9=> a=10( loại vì a phải là các số từ 1 đến 9)

TH2: a=b+4

nếu b=1=> a=5=> \(\overline{ab}=51\) ( ko phải số nguyên tố vì 51⋮3)

nếu b=3=> a=7=> \(\overline{ab}=73\) ( thỏa mãn vì 73 là số nguyên tố)

nếu b=7=> a=11( loại vì a là những số từ 1 đến 9)

vậy các số nguyên tố \(\overline{ab}\) thỏa mãn đề bài là 43 và 73

đổi 25%=\(\frac14\)

số chai nước cửa hàng đã bán là:

320 x \(\frac14\) =80( chai)

ta lấy tổng số chai nước ban đầu trừ đi số chai nước đã bán:

320-80=240( chai)

vậy cửa hàng còn lại 240 chai

trong 1 giờ, đội An và Bình cùng làm được:

1:6=\(\frac16\) ( đoạn đường)

trong 1 giờ, đội Bình và đội Cường cùng làm được

1:8=\(\frac18\) ( đoạn đường)

trong 1 giờ, đội An và đội Cường cùng làm được:

1:9=\(\frac19\) ( đoạn đường)

nếu ta cộng chung năng suất của các đội lại, ta thấy mỗi đội An,Bình, Cường đều được tính xuất hiện hai lần.

trong 1 giờ, hai lần tổng năng suất của cả 3 đội làm được số phần đoạn đường là:

\(\frac16+\frac18+\frac19=\frac{12}{72}+\frac{9}{72}+\frac{8}{72}=\frac{29}{72}\) ( đoạn đường)

trong 1 giờ, cả 3 đội cùng làm thì sửa được số đường là:

\(\frac{29}{72}:2=\frac{29}{144}\) ( đoạn đường)

a) Ban đầu cả 3 đội cùng làm, đội An rời đi nên chỉ còn đội Bình và đội Cường làm tiếp trong 2 giờ.

trong 2 giờ làm thêm đó, đội Bình và đội Cường sửa được số phần đoạn đường là :

2x \(\frac18=\frac14\) ( đoạn đường)

theo đề bài ta có sau khi đội Bình và Cường làm xong hai giờ này thì công việc đã hoàn thành \(\frac56\) đoạn đường

số phần đoạn đường cả 3 đội đã làm cùng lúc ban đầu là:

\(\frac56-\frac14=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\) ( đoạn đường)

thời gian ban đầu cả cùng làm chung là :

\(\frac{7}{12}:\frac{29}{144}=\frac{7}{12}\cdot\frac{144}{29}=\frac{84}{29}\) ( giờ)

b) trong 1 giờ đội An làm một mình được số phần đoạn đường là:

( năng suất 3 đội trong 1 giờ)-( tổng năng suất của đội Bình và đội Cường trong 1 giờ)

=> \(\frac{29}{144}-\frac18=\frac{29}{144}-\frac{18}{144}=\frac{11}{144}\)

nếu chỉ giao riêng cho đội An sủa thì toàn bộ đoạn đường cần số thời gian là:

\(1:\frac{11}{144}=\frac{144}{11}\) ( giờ)

2A=\(2^2+2^3+2^4+..+2^{20}+2^{21}\)

2A-A=\(\left(2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{20}+2^{21}\right)-\left(2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{20}\right)\)

A=\(2^{21}-2\)