sửa đề: CM: \(T=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{11}\) ⋮40

\(T=\left(1+3+3^3+3^3\right)+\cdots+\left(3^8+3^9+3^{10}+3^{11}\right)\)

\(T=40+\cdots+3^8\left(1+3+3^3+3^3\right)\)

\(T=40+..+3^8\cdot40\)

\(T=40\left(1+\cdots+3^8\right)\)

=>T⋮40

BT2: A= \(\frac{200\left(200+1\right)}{2}=20100\)

2. \(\Rightarrow3B=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot3+3\cdot4\cdot3+\cdots+99\cdot100\cdot3\)

\(\Rightarrow3B=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3+3\cdot4\cdot5-\cdots+99\cdot100\cdot101-98\cdot99\cdot100\)

\(3B=99\cdot100\cdot101\)

\(3B=999900\)

\(B=333300\)

3. \(\Rightarrow4C=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+\cdots+99\cdot99\cdot100\cdot4\)

\(4C=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot101-97\cdot98\cdot99\cdot100\)

\(4C=98\cdot99\cdot100\cdot101\)

\(4C=98000200\)

\(C=24500050\)

bài 1:

<=> \(x\left(x^2-\frac{9}{16}\right)=0\)

TH1:x=0

TH2: \(x^2-\frac{9}{16}=0\)

=> \(x^2=\frac{9}{16}\)

TH2a: \(\Rightarrow x=\frac34\)

\(TH2b:x=-\frac34\)

bài 2:

1) <=> \(2N=\frac{2}{1\cdot2\cdot3}+\frac{2}{2\cdot3\cdot4}+\cdots+\frac{2}{98\cdot99\cdot100}\)

Áp dụng công thức: \(\frac{2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}\) ta có:

\(2N=\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{98\cdot99}-\frac{1}{99\cdot100}\right)\)

\(2N=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{99\cdot100}\)

\(2N=\frac{4949}{9900}\)

\(\Rightarrow N=\frac{4949}{19800}\)

2) <=> \(5N=5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{101}\)

=> \(5N-N=\left(5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{101}\right)-\left(5+5^2+5^3+\cdots+5^{99}+5^{100}\right)\)

\(4N=5^{101}-5\)

=> \(N=\frac{\left(5^{101}-5\right)}{4}\)

a) sửa đề:CM chia 3 dư 1

chia 103 số hạng ra thành nhóm có 3 số

=>103:3=34( nhóm) và dư 1 số hạng

<=> A=\(1+\left(-2+2^2\right.-2^3)+\left(2^4-2^5+2^6\right)-.\ldots+\left(2^{100}-2^{101}+2^{102}\right)\)

A=\(1-2\left(1-2+2^2\right)+2^4\left(1-2+2^2\right)-.\ldots+2^{100}\left(1-2+2^2\right)\)

\(A=1-2\cdot3+2^4\cdot3-.\ldots+2^{100}\cdot3\)

\(A=1+3\left(-2+2^4-.\ldots+2^{100}\right)\)

vì trong ngoặc chia hết cho 3

=> 1 là số còn lại

vậy A chia 3 dư 1

b) \(A=1-2^1+2^2-2^3+\cdots+2^{100}-2^{101}+2^{102}\)

\(2A=2-2^2+2^3-2^4+\cdots+2^{101}-2^{102}+2^{103}\)

=> \(A+2A=\left(1-2^1+2^2-2^3+\cdots+2^{100}-2^{101}+2^{102}\right)+\left(2-2^2+2^3-2^4+\cdots+2^{103}\right)\)

\(3A=1+2^{103}\)

\(A=\frac{\left(2^{103}+1\right)}{3}\)

ta gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm có dạng là: \(\overline{ab}\) ( với a,b là các chữ số, a≠0)

vt thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số, ta được số mới là: \(\overline{a0b}\)

theo đề bài, ta có biểu thức:

\(\overline{a0b}=7\times\overline{ab}\)

=> \(100\times a+b=7\times\left(10\times a+b\right)\)

\(100\times a+b=70\times a+7\times b\)

\(100\times a-70\times a=7\times b-b\)

\(30\times a=6\times b\)

chia cả hai vế cho 6 ta dc:

\(5\times a=b\)

mà ta có a=1 =>b=5

với \(a\ge2\) thì \(b\ge10\) (Ktm do \(0\le b\le9\) )

vậy số cần tìm là 15

bấm máy tính ta có:

B= \(\frac{\left(3^4-11\right)}{2}+8\cdot\sin\left(90^{\circ}\right)+\sum_{n=1}^4\left(2n\right)-1\)

cho ai chưa bt thì \(\log_2\left(256\right)\) =8 là do \(2^8=256\) nha còn sin(\(90^{\circ}\) )=1 là do bạn bấm máy sin(90)=1 là ra ấy mà:v

\(B=43+1\cdot2+2\cdot2+3\cdot2+4\cdot2-1\)

\(B=43+20-1\)

\(B=63-1\)

\(B=62\)

mik dự đoán thế đk nhỉ bạn:v

A=\(\sqrt{4^3+3\cdot7}+\frac{\left(2^6\cdot5-10^2\right)}{4}-^3\sqrt{27}\)

A=\(\sqrt{85}+\frac{\left(2^6\cdot5-\left(5\cdot2\right)^2\right)}{4}-3\)

\(A=\sqrt{85}+\frac{\left(2^6\cdot5-5^2\cdot2^2\right)}{4}-3\)

\(A=\sqrt{85}+\frac{\left(5\left(2^6-5\cdot2^2\right)\right)}{4}-3\)

\(A=\sqrt{85}+\frac{5.2^2\left(2^4-5\right)}{4}-3\)

\(A=\sqrt{85}+\frac{20\left(16-5\right)}{4}-3\)

\(A=\sqrt{85}+55-3\)

=> \(A=\sqrt{85}+52\)

B thì mik chưa học sin nha bạn:v

A=\(99^2-\left(99-1\right)\left(99+1\right)\)

\(A=99^2-\left\lbrack99\left(99+1\right)-\left(99+1\right)\right\rbrack\)

\(A=99^2-\left(99^2+99-99-1\right)\)

\(A=99^2-\left(99^2-1\right)\)

\(A=99^2-99^2+1\)

\(A=1\)

ta có bđt phụ 1: với mọi số thực x;y ta luôn có xy\(\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

CM: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

=> \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

ta CM tiếp bđt phụ thứ 2: với mọi số thực dương a, ta có \(a\left(1+a^2\right)\le\frac{\left(a+1\right)^2}{8}\)

CM: áp dụng bđt phụ thứ nhất ta có:

\(2a\left(1+a^2\right)\le\frac{\left\lbrack2a+\left(1+a^2\right)\right\rbrack^2}{4}=\frac{\left(a^2+2a+1\right)^2}{4}=\frac{\left(a+1\right)^4}{4}\)

=> \(a\left(1+a^2\right)\le\frac{\left(a+1\right)^4}{8}\)

CMTT: => \(b\left(1+b^2\right)\le\frac{\left(b+1\right)^4}{8}\)

=> \(c\left(1+c^2\right)\le\frac{\left(c+1\right)^4}{8}\)

=> \(abc\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\le\frac{\left\lbrack\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right\rbrack^4}{512}\)

=> cần CM: \(\frac{\left\lbrack\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right\rbrack^4}{512}\le8\Rightarrow\left(\left\lbrack a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right\rbrack^4\le8^4\)

mà ta có : \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{\left(a+1+b+1\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}\)

vì a+b+c=3

=>a+b=3-c thay vào biểu thức trên ta có:

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{\left(3-c+2\right)^2}{4}=\frac{\left(5-c\right)^2}{4}\)

=>\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\frac{\left(5-c\right)^2\left(c+1\right)}{4}\)

cần CM: \(\frac{\left(5-c\right)^2\left(c+1\right)}{4}\le8\Rightarrow\left(5-c\right)^2\left(c+1\right)\le32\)

\(\left(25-10c+c^2\right)\left(c+1\right)\le32\)

\(25c+25-10c^2-10c+c^3+c^2-32\le0\)

\(c^3-9c^2+15c-7\le0\)

\(c^3-c^2-8c^2+8c+7c-7\le0\)

\(c^2\left(c-1\right)-8c\left(c-1\right)+7\left(c-1\right)\le0\)

\(\left(c-1\right)\left(c^2-8c+7\right)\le0\)

\(\left(c-1\right)\left\lbrack c\left(c-1\right)-7\left(c-1\right)\right\rbrack\le0\)

\(\left(c-1\right)^2\left(c-7\right)\le0\)

vì a+b+c=3

=>0<c<3

=> \(\left(c-1\right)^2\left(c-7\right)\le0\) đúng với mọi c

vậy bđt dc chứng minh

ta có các phân số đã cho có dạng tổng quát là:

\(\frac{i}{n+i+2}\) với i=1,2,3,4,...,198

=> ƯCLN(i,n+i+2)=1

áp dụng tính chất số học ta có:

ƯCLN(i;n+i+2-i)=ƯCLN(i,n+2)=1

điều này đúng với mọi i từ 1,2,...,198

giả sử tồn tại một ước chung d > 1 của n+2 với mọi số i nằm bất kỳ từ 1 đến 198

vì d là ước chung ta có:

i⋮d

(n+2)⋮d

mà phân số tổng từ đề bài ta có dạng:

\(\frac{i}{n+i+2}\)

ta xét mẫu số= n+i+2=(n+2)+i

ta có (n+2)+i⋮d

i⋮d

=> \(\frac{i}{n+i+2}\) rút gọn dc cho d

=> n+2 ko có dc ước chung của các số từ 1 đến 198

=>n+2 ko chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn hoặc =198

=> để n nhỏ nhất thì n+2 phải là số tự nhiên nhỏ nhất lơn hơn 198

giả sử tiếp n+2 là một hợp số

=> p\(\le\sqrt{n+2}\) ( với p là một ước nguyên tố nhỏ nhất của số n+2)

vì nếu n+2 có ước nguyên tố p nhỏ hơn hoặc = 198 thì (n+2) sẽ chung ước với số p

=> n+2 phải có các ước nguyên tố lớn hơn 198

=> n+2 phải là một số nguyên tố hoặc có các tích của các số nguyên tố lớn 198)

để n nhỏ nhất ta chọn n+2 phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 198

mà ta có 199 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 198 thỏa mãn đề bài

=>n+2=199

n=197