\(\left(\frac12+2x\right)\left(2x-3\right)=0\)

TH1: \(\frac12+2x=0\)

=> \(2x=-\frac12\)

x=\(-\frac14\)

TH2: \(2x-3=0\)

=> \(2x=3\)

\(x=\frac32\)

từ đỉnh B, kẻ một đường thẳng song song với DC cắt AD tại M

xét tứ giác BCDM có:

BC//MD

BM//CD

=> tứ giác BCDM là hình bình hành

=> BM=CD và góc BMA= góc D( đồng vị)

xét tam giác ABM có

góc A< góc D

=> góc A< góc BMA

=> AB>BM

mà BM=CD

=> AB>CD

từ B và C kẻ tiếp hai đường cao, BH⊥AD và CK⊥AD

tứ giác BCHK có:

BH//CK( cùng vuông góc với AD)

BC//HK

góc BHK= 90 độ

=> tứ giác BCHK là hình chữ nhật

=> BH=CK và HK=BC

xét tam giác ABH vuông tại H

=> \(AH^2=AB^2-BH^2\)

xét tam giác DCK vuông tại K

=> \(DK^2=CD^2-CK^2\)

vì AB>CD và BH=CK

=> \(AH^2>DK^2\)

=> AH>DK

ta có: AK=AH+HK

DH=DK+HK

mà AH>DK

=> AK>DH

=> \(AK^2>DH^2\)

xét tam giác ACK vuông tại K

=> \(AC^2=AK^2+CK^2\)

xét tam giác BDH vuông tại H

=> \(BD^2=DH^2+BH^2\)

vì \(AK^2>DH^2\) và CK=BH

=> \(AC^2>BD^2\)

=> AC>BD(đpcm)

ta có một định lý đảo đó là điểm cách đều hai đoạn thẳng thì nằm trên đường phân giác đó

=> kẻ FP⊥AB và FN⊥AC ta có

xét tứ giác ANFP có:

góc A= góc ANF= góc APF= 90 độ

=> tứ giác ANFP là hình chữ nhật

=> góc PFN= 90 độ

mà ta có : góc PFB+ góc PFE= 90 độ

góc PFE+ góc EFN= 90 độ

=> góc EFN= góc PFB

xét tam giác PFB và tam giác NFE có:

góc PFB= góc EFN

BF=FE(vì tam giác FBE là tam giác vuông cân)

góc FPB= góc FNE= 90 độ

=> △FPB= △FNE(ch.gn)

=> FB=FN lại có tứ giác ANFP là hình chữ nhật

=> tứ giác ANFP là hình vuông

=> AF là phân giác của góc A( t/c của hình vuông)

ta có một định lý đảo đó là điểm cách đều hai đoạn thẳng thì nằm trên đường phân giác đó

=> kẻ FP⊥AB và FN⊥AC ta có

xét tứ giác ANFP có:

góc A= góc ANF= góc APF= 90 độ

=> tứ giác ANFP là hình chữ nhật

=> góc PFN= 90 độ

mà ta có : góc PFB+ góc PFE= 90 độ

góc PFE+ góc EFN= 90 độ

=> góc EFN= góc PFB

xét tam giác PFB và tam giác NFE có:

góc PFB= góc EFN

BF=FE(vì tam giác FBE là tam giác vuông cân)

góc FPB= góc FNE= 90 độ

=> △FPB= △FNE(ch.gn)

=> FB=FN lại có tứ giác ANFP là hình chữ nhật

=> tứ giác ANFP là hình vuông

=> AF là phân giác của góc A( t/c của hình vuông)

bài 1.34

ta có a-b=2(a+b)

=> a-b= 2a+2b

=> a-2a=b+2b

-a=3b

=>a=-3b

mà ta có a-b= a/b

=> \(-3b-b=-\frac{3b}{b}\)

=> \(-4b=-3\)

=> \(b=\frac34\)

=> \(a=-3b=-3\cdot\frac34=-\frac94\)

bài 1.35

ta có a≠0 vì thay a=0=> \(a+b=a.b=\frac{a}{b}\Rightarrow b=0\) mà điều kiện để \(\frac{a}{b}\) tồn tại là b≠0 nên a=0 ko thỏa mãn

=> \(b=\frac{1}{b}\)

=> \(b^2=1\)

TH1: b=1

thay vào biểu thức a+b=a.b

=>a+1=a.1

a-a=1

0a=1

vô nghiệm

TH2: b=-1

=>a-1=-a

2a=1

a= \(\frac12\)

sửa đề: ... trên tia đối của tia CA lấy F sao cho CF=AB. C/M BE=BF

a) xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

AB=AC

AH là cạnh chung

BH=HC

=> △ABH=△ACH(c.c.c)

b) từ câu a) => góc AHB= góc AHC

mà góc AHB+ góc AHC= 180 độ

=> góc AHB= góc AHC=180 độ/2= 90 độ

=> AH⊥BC

c) ta có △ABH= △ACH

=> góc BAH= góc CAH

mà góc BAH+ góc CAH= 90 độ

=> góc BAH= góc CAH=90 độ/2=45 độ

mà E thuộc đường thẳng AH

=> góc EAB+ góc BAH= 180 độ

=> góc EAB= 180 độ- 45 độ=135 độ

mặt khác xét tam giác ABC vuông cân tại A ta có:

góc ACB+ góc ABC= 90 độ

mà góc ACB= góc ABC

=> góc ACB= góc ABC= 90 độ/2=45 độ

mà F thuộc CA

nên góc BCF+ góc ACB= 180 độ

=> góc BCF=180 độ- 45 độ

góc BCF= 135 độ

xét tam giác BAE và tam giác FCB có:

AB=CF

góc BAE= góc FCB= 135 độ

AE=BC

=> △BAE=△FCB(c.g.c)

=> BE=BF

ta có AC và DM cùng ⊥AB

=> DM//AC

mà M là trung điểm BC

=> D là trung điểm AB

Xét tam giác BAM ta có:

D là trung điểm AB

DI//AM

I là trung điểm BM

=> DI là đường trung bình của tam giác BAM

=> DI//AM và \(DI=\frac12AM\)

CMTT với tam giác CAM:=> \(EK=\frac12AM\) và EK//AM

từ hai điều trên

=> DI//EK và DI=EK

=> tứ giác DEKI là hình bình hành

b)

để DIKE là hình chữ nhật

=> góc DIK=90 độ

mà DI//AM

=> AM⊥BC

mà AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao

=> tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A

câu 3:

a)

xét tam giác AMB và tam giác AMC ta có:

góc ABM= góc ACM

AB=AC

BM=MC

=> △AMB=△AMC

=> góc AMB= góc AMC

b) xét tứ giác ADCB có:

N là trung điểm của BD

N là trung điểm AC

=> tứ giác ADCB là hình bình hành

=> AB//DC

c) xét tam giác EAB có:

C là trung điểm AE

I là trung điểm BE

=> CI là đường trung bình của △EAB

=> CI//AB

mà DC//AB

=> D,C,I thẳng hàng

ta có: \(\frac{a+199}{a-199}=\frac{b+200}{b-200}\)

=> \(\left(a+199\right)\left(b-200\right)=\left(a-199\right)\left(b+200\right)\)

=\(ab-200a+199b-199\cdot200=ab+200a-199b-199\cdot200\)

=> \(-200a+199b=200a-199b\)

=> \(199b+199b=200a+200a\)

=> \(2\cdot199b=2\cdot200a\)

=> \(199b=200a\)

=> \(\frac{a}{199}=\frac{b}{200}\)

cách 2: \(\frac{a+199}{a-199}=\frac{b+200}{b-200}\Rightarrow\frac{a+199}{b+200}=\frac{a-199}{b-200}\)

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+199}{b+200}=\frac{a-199}{b-200}=\frac{\left(a+199\right)+\left(a-199\right)}{\left(b+200\right)+\left(b-200\right)}=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}\)

ta có áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ở dạng trừ tiếp:

=> \(\frac{a+199}{b+200}=\frac{a-199}{b-200}=\frac{\left(a+199\right)-\left(a-199\right)}{\left(b+200\right)-\left(b-200\right)}=\frac{2.199}{2\cdot200}=\frac{199}{200}\)

từ hai điều trên

=> \(\frac{a}{b}=\frac{199}{200}\)

=> \(\frac{a}{199}=\frac{b}{200}\)

mik ăn cơm đây:v, hơi vội nên bạn kiểm tra kĩ khâu tính toán nha

ta có \(\left(15-6x\right)^2=\left\lbrack3\left(5-2x\right)\right\rbrack^2=9\left(5-2x\right)^2=9\left(2x-5\right)^2\)

thay vào lại biểu thức ta có:

\(\Leftrightarrow\left(2x-5\right)^2-9\left(2x-5\right)^2-\left\vert x-y-1\right\vert+2024\)

= \(-8\left(2x-5\right)^2-\left\vert x-y-1\right\vert+2024\)

vì \(-8\left(2x-5\right)^2\le0\) và \(-\left\vert x-y-1\right\vert\le0\)

=> GTLN= 2024

dấu "=" xảy ra khi:

\(2x-5=0\) => x= \(\frac52\)

\(x-y-1=0\) => \(\frac52-y-1=0\Rightarrow y=\frac32\)