a) diện tích tam giác ABC là:

\(\frac{\left(8\times5\right)}{2}=\frac{40}{2}=20\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b) ta có đáy là CD= 3 cm

chiều cao hạ từ A vuông góc với BC: 5cm

diện tích tam giác ACD là:

\(\frac{\left(3\times5\right)}{2}=\frac{15}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

từ 1 tới 9 : có 9 chữ số

từ 10 tới 99 có : (99-10):1+1=90 ( số) và vì có 2 chữ số trong 1 số

=>tổng chữ số là: 90 x 2 =180 chữ số

số lượng chữ số để vt từ 100 trở lên là:

2021-9-180=1832

lấy 1832:3 =610 dư 2

=> số có ba chữ thứ 610 là:

100+610-1=709

số có ba chữ số thứ 611 là:

709+1=710

ta lấy hai chữ số đầu tiên còn dư là : 7 và 1

=> dãy số có 2021=12345678910111213....70971

xét các số từ 1 tới 709 ta có:

giá trị= \(\frac{710.\left(710+1\right)}{2}=251695\)

2+5+1+6+9+5=28

ta có: 28: 9= 3( dư 1)

ta có tổng số dư: 1+7+1=9⋮9

vậy dãy số trên chia hết cho 9

vì \(2\cdot13^{y}\) ⋮13

=> \(3^{x}-1\vdots13\)

TH1: x=3k( k là số nguyên dương)

ta có: \(3^{3k}-1=27^{k}-1\)

áp dụng hằng đẳng thức \(a^{n}-b^{n}\) ta có:

\(27^{k}-1=\left(27-1\right)\left(27^{k-1}+\cdots+1\right)=26\cdot A\)

vì 26⋮13

=> biểu thức này chia hết cho 13( TM)

TH2: x=3k+1

\(3^{3k+1}-1=3\cdot3^{k}-1=3\left(3^{3k}-1\right)+2\)

vì \(3^{3k}-1\vdots13\) nên nó dư 2( loại)

TH3: x=3k+2

ta có :

\(3^{3k+2}-1=9\cdot3^{3k}-1=9\left(3^{3k}-1\right)+8\)

=> biểu thức này dư 8( loại)

vậy x=3k

ta thay vào phương trình ban đầu ta có:

\(3^{3k}-1=2\cdot13^{y}\)

\(\left(3^{k}\right)^3-1^3=2\cdot13^{y}\)

\(\left(3^{k}-1\right)\left(3^{2k}+3^{k}+1\right)=2\cdot13^{y}\)

gọi d là ƯCLN của \(3^{k}-1\) và \(3^{2k}+3^{k}+1\)

ta có:

\(3^{2k}+3^{k}+1=\left(3^{k}-1\right)\left(3^{k}+2\right)+3\)

=> d phải là ước của 3

=> d là 1 hoặc 3

mà \(3^{k}\vdots3\) => \(3^{k}-1\) ko chia hết cho 3

=> d=1

=> \(3^{k}-1\) và \(3^{2k}+3^{k}+1\) là hai số nguyên tố cùng nhau

ta có \(3^{2k}+3^{k}+1\) luôn là một số lẻ nên nó ko chia hết cho 2

TH1: \(3^{k}-1=2\cdot13^{y}\)

\(3^{2k}+3^{k}+1=1\)

=> \(3^{2k}+3^{k}=0\) ( ko thể vì biểu thức luôn dương với k là số nguyên dương)

TH2: \(3^{k}-1=2\) => \(3^{k}=3\Rightarrow k=1\)

thay vào ta có:

\(3^{2k}+3^{k}+1=13^{y}\)

\(\Rightarrow3^2+3^1+1=13^{y}\)

\(13=13^{y}\Rightarrow y=1\)

thay k=1 vào x=3k ta có

x= 3 x 1=3

vậy nghiệm dương duy nhất là x=3 và y=1

ta có hằng đẳng thức mở rộng:

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

mà (ab+bc+ca)=1

=> (a+b)(b+c)(c+a)=a+b+c-abc

gọi số nguyên tố đó là p

(a+b)(b+c)(c+a)=p

mà p có các ước là: 1;-1;p;-p

ta có (a+b)+(b+c)+(c+a)=2a+2b+2c=2(a+b+c)

mà 2(a+b+c) là số chẵn

TH1: (a+b)=1; (b+c)=1;(c+a)=p

=> 1+1+p=p+2

mà để p+2 là số chẵn thì p phải là số nguyên tố chẵn mà số nguyên tố chẵn duy nhất là p=2

TH2: (a+b)=-1; (b+c)=-1;(c+a)=p

=> -1-1+p=p-2

mà để p-2 là số chẵn thì p phải là số nguyên tố chẵn mà số nguyên tố chẵn duy nhất là p=2

TH3: (a+b)=1; (b+c)=-1;(c+a)=-p

=> 1-1-p=-p

mà để -p là số chẵn thì p phải là số nguyên tố chẵn mà số nguyên tố chẵn duy nhất là p=2

vậy p phải bằng 2

TH1: tập thừa số lần lượt(1;1;2)

=> a+b=1 ;b+c=1;c+a=2

2(a+b+c)= 1+1+2=4

=> (a+b+c)=2

c= (a+b+c)-(a+b)=2-1=1

a=(a=b+c)-(b+c)=2-1=1

b=(a+b+c)-(c+a)=2-2=0

vậy (a;b;c)=(1;0;1)

vì vai trò của a;b;c như nhau

=> (a;b;c)∈(1;0;1);(1;1;0);(0;1;1)

TH2: giả sử a+b=-1;b+c=-1; c+a=2

2(a+b+c)=-1-1+2=0

=> a+b+c=0

c= 0-(-1)= 1

a= 0-(-1)= 1

b= 0-2=-2

thử với ab+bc+ca=1 ta có:

1x(-2)+(-2)x1+1 x 1=-3≠1( loại)

TH3:giả sử a+b=1;b+c=-1; c+a=-2

2(a+b+c)=1-1-2=-2

=> a+b+c=-1

c= -1-1= -2

a= -1-(-1)= 0

b= -1-(-2)=1

thử với ab+bc+ca=1 ta có:

0 x 1+(-2)x1+(-2) x 0=-2≠1( loại)

vậy (a;b;c)∈(1;0;1);(1;1;0);(0;1;1)

gọi số có hai chữ số cần tìm là: \(\overline{ab}\) ( a;b∈N; a>b)

gọi hiệu của hai số chính phương là P

theo đề bài ta có:

=> \(P=\left(\overline{ab}\right)^2-\left(\overline{ba}\right)^2\)

\(P=\left(\overline{ab}-\overline{ba}\right)\left(\overline{ab}+\overline{ba}\right)\)

\(P=\left\lbrack\left(10a+b\right)-\left(10b+a\right)]\left\lbrack\left(10a+b\right)+\left(10b+a\right)\right\rbrack\right.\)

=> \(P=9\left(a-b\right)\cdot11\left(a+b\right)=3^2\cdot11\cdot\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

để tạo một số chính phương thì ta đã có \(3^2\) mà để tạo số chính phương thì (a-b)(a+b)⋮11

vì \(0<a-b\le8\)

\(2\le a+b\le18\)

=>a+b là thỏa mãn giá trị để chia hết cho 11

=>a+b=11

thay a+b=11 vào ta có

\(P=3^2\cdot11\left(a-b\right)\cdot11=\left(3\cdot11\right)^2\cdot\left(a-b\right)=33^2\left(a-b\right)\)

để P là số chính phương thì a-b phải là số chính phương

vậy a=6 và b= 5

=> số cần tìm là 65

=> 10A=\(\frac{10.\left(10^{2002}+1\right)}{10^{2003}+1}=\frac{\left(10^{2003}+10\right)}{10^{2003}+1}=\frac{\left(10^{2003}+1\right)+9}{10^{2003}+1}=1+\frac{9}{10^{2003}+1}\)

CMTT: => \(10B=\frac{10\left(10^{2003}+10\right)}{10^{2004}+1}=\frac{\left(10^{2004}+10\right)}{10^{2004}+1}=\frac{\left(10^{2004}+1\right)}{10^{2004}+1}\)

=> \(10B=1+\frac{9}{10^{2003}+1}\)

vì \(10^{2003}+1<10^{2004}+1\)

=> \(\frac{9}{10^{2003}+1}>\frac{9}{10^{2004}+1}\)

=> \(1+\frac{9}{10^{2003}+1}>1+\frac{9}{10^{2004}+1}\)

=> 10A>10B

=>A>B

ta có FC⊥BC và BH⊥EC

=> kẻ K là trung điểm BH

xét tam giác AHB có:

E là trung điểm AH

K là trung điểm BH

=> EK là đường trung bình

=> EK=\(\frac12AB\) và EK//AB

vì AB= DC và DC=2FC

=> \(EK=\frac12AB=\frac12DC=\frac12\left(2FC\right)=FC\) và EK//FC( vì F là thuộc DC)

từ hai điều trên

=> tứ giác EKCF là hình bình hành

=> EF//KC

mặt khác ta có FC⊥BC mà EK//FC

=> EK⊥BC

xét tam giác BEC có:

EK⊥BC

BH⊥EC

=> K là trực tâm của △BEC

=> KC⊥BE

mà EF//KC

=> BE⊥EF(đpcm)

1)<=> \(\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4x+4\right)-7=0\)

=> \(\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)

\(\Rightarrow\left(x+1-y-2\right)\left(x+1+y+2\right)=7\)

\(\left(x-y-1\right)\left(x+y+3\right)=7\)

vì x;y là số nguyên dương=> \(x;y\ge1\Rightarrow x+y+3\ge1+1+3=5\)

=> \(x+y+3=7\Rightarrow x+y=4\)

\(x-y-1=1\Rightarrow x-y=2\)

cộng hai phương trình ta có:

=> \(\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=4+2\)

=> \(2x=6\)

=> x=3

=> y=4-3=1

2)<=> \(\left(x^2+xy+2x\right)+\left(2xy+2y^2+4y\right)+\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(x\left(x+y+2\right)+2y\left(x+y+2\right)+1\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(\left(x+y+2\right)\left(x+2y+1\right)=17\)

<=> \(\frac{\left(x+y\right)}{2}=\frac{\left(8-z\right)}{5}=\frac{\left(y+z\right)}{3}=\frac{\left(10+z\right)}{4}\)

ta có \(\frac{\left(8-z\right)}{5}=\frac{\left(10+z\right)}{4}\)

=> \(4\left(8-z\right)=5\left(10+z\right)\)

\(\Rightarrow32-4z=50+5z\)

\(\Rightarrow-5z-4z=50-32\)

\(-9z=18\)

=>\(z=-2\)

=> \(\frac{\left(x+y\right)}{2}=\frac{\left(y+z\right)}{3}=\frac{\left(10+-2\right)}{4}=2\)

=> y+z=6

thay y=-2 vào ta có

y-2=6=> y= 8

từ biểu thức vừa suy ra

=> x+y= 2 x 2=4

thay y=8 vào ta có

x+8=4

=> x=-4

vậy x=-4;y=8;z=-2