20.

trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA ta có:

ta có góc AOB< góc AOC

=> góc AOB+ góc COB= góc COA

50 độ+ góc COB= 75 độ

góc COB= 25 độ

trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA ta có:

ta có góc AOC< góc AOD

=> góc AOC+ góc COD= góc AOD

75 độ+ góc COD= 100 độ

góc COD= 25 độ

ta thấy OC nằm giữa OB và OD và góc BOC= góc COD= 25 độ

=> OC là tia phân giác của góc BOD

21. ta có góc BOD+ góc AOD= 180 độ

mà góc BOD- góc AOD= 20 độ

ta có bài toán khi bt tổng và hiệu

=> góc BOD=(180+20):2=100 độ

góc AOD= 100 - 20 = 80 độ

ta có OT là phân giác góc BOD

=> góc DOI= \(\frac12\) góc BOD= \(\frac12\times100=50\) độ

=> góc AOT= góc AOD+ góc DOT

góc AOT= 80 độ+ 50 độ

góc AOT =130 độ

22. vì tia OC nằm giữa OA và OM

góc AOM= 50 độ+ 50 độ =100 độ

mà góc AOM và góc BOM kề bù nhau

=> góc AOM+ góc BOM= 180 độ

100 độ +a= 180 độ

a= 180 độ -100 độ =80 độ

23. a) ta có góc BOM= góc AOM= góc BOA:2= 50 độ :2= 25 độ

góc AON = góc CON= góc AOC:2= 150 độ :2= 75 độ

ta có góc AOM< góc AON=> OM nằm trong tia OA và ON

=> góc NOM+ góc AOM= góc AON

góc NOM+ 25 độ =75 độ

góc NOM= 75 độ - 25 độ = 50 độ

b) ta có góc AOM< góc AOB< góc AON

=> OB nằm trong hai tia OM và ON

ta có OB nằm giữa OA và ON

góc AOB+ góc BON= góc AON

50 độ+ góc BON= 75 độ

góc BON= góc MOB= 25 độ

vậy OB là tia phân giác của góc MON

25. vì tia Ox nằm giữa OA và Oy

=> góc xOy= góc AOy - góc AOx

thay góc AOx= góc AOB/2 ta có:

góc xOy= góc AOy- góc AOB/2(1)

mặt khác ta có góc AOy= góc AOB+ góc BOy

=> góc AOB= góc AOy- góc BOy

thay lại vào biểu thức (1) ta có:

góc xOy= góc AOy-( góc AOy- góc BOy)/2

góc xOy=(2 x góc AOy - góc AOy+ góc BOy)/2

góc xOy= ( góc AOy+ góc BOy)/2 (đpcm)

bài 1:

a) \(\left(2x+3\right)^2=4x^2+12x+9\)

\(\left(x+3y\right)^2=x^2+6xy+9y^2\)

\(\left(5x+y\right)^2=25x^2+10xy+y^2\)

\(\left(5x+4y\right)^2=25x^2+40xy+16y^2\)

mấy bài 2;3 khá cơ bản nên bạn tự làm đi

Bài 4:

a) gọi f(x) = \(4x^2-6x+a\)

theo định lý bezout để f(x) ⋮(x-3) thì f(3)=0

\(f\left(3\right)=4\cdot3^2-6\cdot3+a=0\)

\(\Rightarrow a=-18\)

b) tương tự

c) ta có \(\left(x^2+x-2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

gọi h(x) = \(x^3+ax+b\)

=> h(1)=0 và h(-2)=0 để thỏa mãn đề bài:

=> a+b=-1 và -2a+b=8

trừ hai vế cho nhau

(a+b)-(-2a+b)=-1-8

3a=-9

a=-3

=> -3+b=-1

b=2

bài 5:

<=> A= \(\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(4x+4y\right)+1\)

\(A=\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)+1\)

thay x+y=3 vào ta có:

\(A=3^2-4\cdot3+1\)

\(A=-2\)

Bài 6: lấy từ buhiacopxki cơ à:)

ta có \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)

\(\left(ax+by\right)^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

=> \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

=> \(a^2y^2+b^2x^2=2axby\)

=> \(a^2y^2+b^2x^2-2axby=0\)

\(\left(ay-bx\right)^2=0\)

=> \(ay-bx=0\)

=> \(ay=bx\)

vì x;y khác 0 nên chia cả hai vế cho xy ta có:

\(\frac{ay}{xy}=\frac{bx}{xy}\)

=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\left(đpcm\right)\)

ta có góc DAC= góc DAB+ góc BAC= góc BAC+ 90 độ

góc BAE= góc EAC+ góc BAC= góc BAC+ 90 độ

=> góc DAC = góc BAE

xét tam giác ADC và tam giác ABE có:

AD=AN

góc DAC = góc BAE

AC= AE

=> △ADC=△ABE(c.g.c)

=> BE=DC và góc ADC = góc ABE

gọi giao của AB và DC là K

ta có góc ADC+ góc AKD= 90 độ

mà góc AKD= góc BKI và góc ADC = góc ABE

=> góc ABE+ góc BKI= 90 độ hay góc KBI+ góc BKI= 90 độ

=> △BKI vuông tại I

=> DC⊥BE

để CM: IM=AN

ta có xét tam giác IDE vuông tại I có:

M là trung điểm DE

=> IM là đường trung tuyến của tam giác vuông IDE

=> \(IM=\frac12DE\)

=> CM: AN= \(\frac12DE\)

nếu bạn nhìn kĩ hình bạn sẽ thấy nó có một số đặc điểm khá giống bài toán sau đây:

cho tam giác ABC nhọn, kẻ ra ngoài các hình vuông ADFB; hình vuông AENC;kẻ ADPE là hình hình hành. CMr: AP= BC

và điều CM trên luôn đúng nên ta kẻ một tia đối của tia NA sao cho A'N=AN

xét tứ giác ACA'B có:

N là trung điểm AA'

N là trung điểm BC

=> ACA'B là hình bình hành

=> BA'=AC=AE và A'C=AB=AD

mà ta có góc ABA'+ góc BAC= 180 độ( hai góc trong cùng phía)

góc DAE+ góc BAC+ góc DAB+ góc EAC= 360 độ

thay góc DAB= góc EAC= 90 độ ta có:

góc DAE+ góc BAC= 360 độ - 90 độ -90 độ =180 độ

từ các điều trên

=> góc ABA'= góc DAE

xét tam giác ABA' và tam giác DAE có:

DA= AB

góc ABA'= góc DAE

BA'= AE

=> △ABA'=△DAE(c.g.c)

=> AA'= DE

=> \(AN=\frac12DE\)

=> AN= IM(1)

để AMNI là hình thang cân ta cần CM nốt AI//MN

ở đây ta nhận thấy góc DIE= 90 độ và AI

=> kẻ AF⊥DC và AG⊥BE

xét tam giác ADF và tam giác ABG có:

góc ADF = góc ABG( hay góc ADC= góc ABE)

AD=AB

góc DFA= góc BGA= 90 độ

=> △ADF=△ABG(ch-gn)

=> AG=AF

xét tứ giác AFIG có:

góc AFI= góc FIG= góc IGA= 90 độ

=> tứ giác AFIG là hình chữ nhật kết hợp với AG=AF

=> tứ giác AFIG là hình vuông

=> góc AIG= 45 độ(2)

để AI//MN ta cần CM góc IGN= 45 độ

ta nhận thấy ko thể áp dụng kẻ như trên nữa và thầy tớ dày nếu nhìn thấy nhiều trung điểm phải nghĩ tới song song và đường trung bình

=> gọi P là trung điểm EC

xét tam giác EDC có:

M là trung điểm DE

P là trung điểm CE

=> MP là đường trung bình của tam giác EDC

=> MP=\(\frac12DC\) và MP//DC

xét tam giác CBE có:

N là trung điểm BC

P là trung điểm EC

=> NP là đường trung bình của tam giác CBE

=> \(NP=\frac12BE\) và NP//BE

ta có DC=BE

=> MP= NP

ta có DC⊥BE mà NP // BE và MP // DC

=> MP⊥NP

từ các điều trên => △MNP vuông cân tại P

=> góc MNP= 45 độ

mà NP//BE

=> góc IGN= góc MNP= 45 độ(3)

từ(2)(3)=> góc AIG= góc IGN

mà hai góc này ở vị trí so le trong

=> AI//MN(4)

từ (1)(4)=> AMNI là hình thang cân (đpcm)

số học sinh chỉ thích toán và văn là:

5-2=3( học sinh )

số học sinh chỉ thích môn văn và anh là:

4-2= 2( học sinh)

số học sinh chỉ thích môn toán và anh là:

6-2= 4( học sinh)

số học sinh chỉ thích môn toán là:

20-3-4-2=11( học sinh)

số học sinh chỉ thích môn văn là:

18-3-2-2=11( học sinh)

số học sinh chỉ thích môn anh là:

17-4-2-2=9( học sinh)

vậy số học sinh thích ít nhất một môn là:

11+11+9+ 3+2+4+2= 42( học sinh)

số học sinh không thích môn nào cả là:

45- 42= 3( học sinh)

Đáp số:.....

đặt \(x^2+2x+12=k^2\) ( k là một số nguyên dương)

=> \(\left(x^2+2x+1\right)+11=k^2\)

=> \(\left(x+1\right)^2+11=k^2\)

=> \(k^2-\left(x+1\right)^2=11\)

\(\left(k-x-1\right)\left(k+x+1\right)=11\)

vì k∈ \(N^{\cdot}\) => \(k-x-1<k+x+1\)

=> \(k-x-1=1\) và \(k+x+1=11\)

=> (k-x-1)+(k+x+1)=1+11

2k=12

k=6

=> \(6-x-1=1\)

\(5-x=1\Rightarrow x=4\)

vậy số tự nhiên cần tìm là 4

câu 1:

ta có \(3=\frac{2\cdot3}{2}\)

\(6=\frac{3\cdot4}{2}\)

... \(45=\frac{9\cdot10}{2}\)

\(\frac{2n+1}{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}=\frac{2\left(2n+1\right)}{n\left(n+1\right)}\)

mà \(\frac{2n+1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\)

=> \(\frac{2\left(2n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)\)

thay vào lại biểu thức ta có:

ta có: \(\) \(M=2-\frac{2\cdot5}{2\cdot3}+\frac{2\cdot7}{3\cdot4}-\frac{2\cdot9}{4\cdot5}+\cdots+\frac{2\cdot19}{9\cdot10}\)

\(M=2\left\lbrack1-\left(\frac12+\frac13\right)+\left(\frac13+\frac14\right)-\left(\frac14+\frac15\right)+\cdots+\left(\frac18+\frac19\right)-\left(\frac19+\frac{1}{10}\right)\right\rbrack\) \(M=2\left\lbrack1-\frac12-\frac{1}{10}\right\rbrack\)

\(M=2\cdot\frac{4}{10}=\frac45\)

câu 2:

\(\Leftrightarrow3A=-1+\frac13-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{3^4}+\cdots+\frac{1}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow3A+A=\left(-1+\frac13-\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{99}}\right)+\left(-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{3^{100}}\right)\)

\(4A=-1+\frac{1}{3^{100}}\)

=> \(A=\frac{-1+\frac{1}{3^{100}}}{4}\)

vì \(\frac{1}{3^{100}}<\frac13\)

=> \(-1+\frac{1}{3^{100}}<-1+\frac13=-\frac23<0\)

=> A<0

=> \(\left\vert A\right\vert=-\left(\frac{-1+\frac{1}{3^{100}}}{4}\right)=\frac{1-\frac{1}{3^{100}}}{4}\)

nhân cả hai vế với 4

\(4\left\vert A\right\vert=1-\frac{1}{3^{100}}\)

\(B=4\left\vert A\right\vert=\frac{1}{3^{100}}\)

\(B=\left(1-\frac{1}{3^{100}}\right)+\frac{1}{3^{100}}\)

\(B=1\)

vậy B=1

ta có: \(\left\vert x-2\right\vert+\left\vert x-4\right\vert=\left\vert x-2\right\vert+\left\vert4-x\right\vert\)

ta có công thức: \(\left\vert A\right\vert+\left\vert B\right\vert\ge\left\vert A+B\right\vert\) dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi \(A\cdot B\ge0\)

=> \(\left\vert x-2\right\vert+\left\vert4-x\right\vert\ge\left\vert\left(x-2\right)+\left(4-x\right)\right\vert\)

\(\left\vert x-2\right\vert+\left\vert4-x\right\vert\ge2\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi : \(\left(x-2\right)\left(4-x\right)\ge0\)

TH1: \(x-2\ge0\Rightarrow x\ge2\)

\(4-x\ge0\Rightarrow x\le4\)

TH2: \(x-2\le0\Rightarrow x\le2\)

\(4-x\le0\Rightarrow x\ge4\) ( vô lí vì ko có số nào lớn hơn 4 lại bé hơn 2)

vậy nghiệm của phương trình là: \(2\le x\le4\)

a) ta có góc BAD+ góc ADC= 180 độ

mà góc BAD= 120 độ

=> góc ADC= 180 độ- 120 độ

góc ADC= 60 độ

gọi P là trung điểm DC

=> \(DP=DC=\frac12DC\)

=> DC=2DP=2PC

mà DC=2AD

=> 2AD=2DP

=> AD=DP

=> △ADP cân tại D

mà góc ADP= 60 độ

=>△ ADP là tam giác đều

=> AD=AP=DP

=> \(AP=AD=\frac12DC\)

=> △ADC vuông tại A

b) ta có góc ADC= góc BCD= 60 độ

mà AP=PC=AD=BC

=> tam giác BCP cân tại C

mà góc BCP= 60 độ

=> BCP là tam giác đều

=> BP= BC=PC

ta có góc APB+ góc APD+ góc BPC= 180 độ

thay góc APD= góc BPC= 60 độ

=> góc APB= 180 độ -60 độ -60 độ= 60 độ

xét tam giác ABP có:

góc BAP= 120 độ-60 độ = 60 độ

góc APB= 60 độ

=> tam giác APB là tam giác đều

=> AB=AP=AD=PC=BC

ta có chu vi của hình thang cân ABCD là:

AB+BC+CD+AD= 30]

thay AB= AP=AD và CD= 2DA có:

AD+AD+AD+2AD= 30

5AD= 30

AD= 6

=> AD= AB=BC= 6

=> CD= 6 x 2= 12

ta biến đổi D từ C

\(D=\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{2022}\right)-\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+.\ldots+\frac{1}{2011}\right)\)

\(D=\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{2022}\right)-\left(\frac22+\frac24+\frac26+\frac28+.\ldots+\frac{2}{2022}\right)\)

\(D=1+\left(\frac12-\frac22\right)+\frac13+\left(\frac14-\frac24\right)+.\ldots+\left(\frac{1}{2022}-\frac{2}{2022}\right)\)

\(D=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2022}\)

mik nghĩ đề bị lỗi rồi:v, phải bỏ \(\frac{1}{2022}\) của D ra chứ nếu làm tiếp là:

=> \(C-D=\left(1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2021}\right)-\left(1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2022}\right)\)

\(C-D=\frac{1}{2022}\)

=> \(I=\left(\frac{1}{2022}\right)^{2021}+2022\)

bạn kiểm tra mik có vt thừa gì ko nhá chứ bên mik thấy cứ lạ lạ

a) xét tam giác AMB và tam giác AMC có:

AB=AC

góc BAM= góc CAM( vì AM là tia phân giác của góc BAC)

AM là cạnh chung

=> △AMB=△AMC(c.g.c)

b) vì KM//AC

=> góc KMA = góc MAC

mà góc BAM = góc MAC

=> góc KMA= góc KAM

=> △KAM cân tại K

=> KM=KA

vì △ABC cân tại A

=> góc ABC = góc BCA

mà vì MK//AC

=> góc BMK= góc BCA( đồng vị)

=> góc ABC = góc BMK hay góc KBM = góc KMB

=> △KMB cân tại K

=> KB=KM

mà ta có KA=KM(cmt)

=> KA=KB

mà điểm K ∈ AB

=> K là trung điểm của AB