\(\sqrt{3}\), 

\(A B = \frac{A C}{\sqrt{2}} = a \sqrt{6}\)

Ta có:

\(\Rightarrow \hat{C O C^{'}}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[\right. C^{'} , B D , C \left]\right.\). Khi đó \(\hat{C O C^{'}} = 6 0^{\circ}\).

Xét tam giác \(C O C^{'}\) vuông tại \(C\):

Ta có: \(tan ⁡ \hat{C O C^{'}} = \frac{C C^{'}}{O C}\)

\(\Leftrightarrow C C^{'} = O C tan ⁡ \hat{C O C^{'}} = a \sqrt{3} tan ⁡ 6 0^{\circ} = 3 a\)

Ta có: \(V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} . C C^{'} = \left(\left(\right. a \sqrt{6} \left.\right)\right)^{2} 3 a = 18 a^{3}\).

 Gọi \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(B D\)

Ta có: 

\(\Rightarrow B D ⊥ \left(\right. S A C \left.\right) \Rightarrow B D ⊥ S O\)

Do đó:

\(\Rightarrow \hat{S O A}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[\right. S , B D , A \left]\right.\), khi đó \(\hat{S O A} = \alpha\).

\(\Delta S A O\) vuông tại \(A\) có:

\(tan ⁡ \alpha = \frac{S A}{A O}\)

\(\Rightarrow S A = A O . tan ⁡ \alpha = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \sqrt{2} = a\)

Trong \(\Delta S O C\) kẻ đường cao \(O I , \left(\right. I \in S C \left.\right)\)

Ta có: 

\(\Rightarrow S C ⊥ \left(\right. B I O \left.\right) \Rightarrow S C ⊥ B I\)

Do đó: 

\(\Rightarrow \hat{B I O}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[\right. B , S C , A \left]\right.\)

\(\Delta I C O sim \Delta A C S \left(\right. g - g \left.\right)\)

\(\Rightarrow \frac{I O}{A S} = \frac{C O}{C S}\)

\(\Rightarrow I O = A S . \frac{C O}{\sqrt{A C^{2} + A S^{2}}}\)

\(= a . \frac{a \sqrt{2}}{2. \sqrt{2 a^{2} + a^{2}}}\)

\(= \frac{a \sqrt{6}}{6}\).

⚡\(\Delta B O I : tan ⁡ B I O = \frac{B O}{O I} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{a \sqrt{6}}{6}} = \sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \hat{B I O} = 6 0^{\circ}\)

Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[\right. A ; S C ; B \left]\right.\) bằng \(6 0^{\circ}\)

Gọi số tiền anh Tài gửi ở ngân hàng A là \(x\) triệu đồng. Suy ra số tiền anh Tài gửi ở ngân hàng B là \(400 - x\) triệu đồng.

⚡Số tiền cả vốn và lãi Anh tài nhận được khi gửi ở ngân hàng A sau \(15\) tháng là:

\(x \left(\left(\right. 1 + \frac{2 , 1}{100} \left.\right)\right)^{5} .\)

Suy ra số tiền lãi Anh tài nhận được khi gửi ở ngân hàng A sau \(15\) tháng là:

\(x \left(\left(\right. 1 + \frac{2 , 1}{100} \left.\right)\right)^{5} - x .\)

⚡Số tiền cả vốn và Anh tài nhận được khi gửi ở ngân hàng B sau \(9\) tháng là:

\(\left(\right. 400 - x \left.\right) \left(\left(\right. 1 + \frac{0 , 73}{100} \left.\right)\right)^{9} .\)

Suy ra số tiền lãi Anh tài nhận được khi gửi ở ngân hàng B sau \(9\) tháng là:

\(\left(\right. 400 - x \left.\right) \left(\left(\right. 1 + \frac{0 , 73}{100} \left.\right)\right)^{9} - \left(\right. 400 - x \left.\right) .\)

⚡Tổng số tiền lãi Anh tài nhận được ở hai ngân hàng là \(49144986 , 76\) đồng nên ta có phương trình:

\(x \left(\left(\right. 1 + \frac{2 , 1}{100} \left.\right)\right)^{5} - x + \left(\right. 400 - x \left.\right) \left(\left(\right. 1 + \frac{0 , 73}{100} \left.\right)\right)^{9} - \left(\right. 400 - x \left.\right) = 49 144 986 , 76\)

\(\Leftrightarrow x = 160.\)

Gọi O=AC∩BD⇒SO⊥(ABCD).

Do ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 nên AC=BD=√2⇒OA=12AC=√22.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOAta có: SO=√SA2−OA2=√22.

SO⊥(ABCD)⇒SO⊥(AMN).

⇒VS.AMN=13SO.SAMN=√26.SAMN.

Do đó VS.AMNmin⇔SAMN min.

Đặt CM=x,CN=y(0≤x;y≤1), khi đó ta có x2+y2=1 (Định lí Pytago trong tam giác vuông CMN).

Ta có

SABM=12AB.AM=12(1−x)SADN=12AD.DN=12(1−y)SCMN=12xy⇒SAMN=SABCD−(SABM+SADN+SCMN)=1−12(1−x+1−y+xy)=1−12(2−x−y+xy)=12(x+y−xy)

Ta có x2+y2=1⇔y=√1−x2. Khi đó ta có S=12(x+√1−x2−x√1−x2).

Xét hàm số f(x)=x+√1−x2−x√1−x2với x∈(0;1) ta có:

y′=1−x√1−x2−√1−x2−x.−x√1−x2y′=√1−x2−x−(1−x2)+x2√1−x2y′=√1−x2+2x2−x−1√1−x2

y′=0⇔√1−x2+2x2−x−1=0⇔√(1−x)(1+x)+(x−1)(2x+1)=0⇔√1−x[√1+x−√1−x(2x+1)]=0⇔[x=1√1+x−√1−x(2x+1)=0⇔[x=11+x=(1−x)(2x+1)2⇔[x=14x3−2x=0⇔⎡⎢
⎢
⎢⎣x=1x=0x=1√2

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy min[0;1]f(x)=f(√22)=2√2−14.

⇒minSAMN=2√2−14.

Vậy minVS.AMN=√26.2√2−14=4−√224 

Gọi a là số tiền vay, r là lãi suất, m là số tiền hàng tháng trả.

Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: N1=a(1+r)−m.

Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: N2=[a(1+r)−m]+[a(1−r)−m]r−m

     =a(1+r)2−m[(1+r)+1]

….

Số tiền nợ sau n tháng là: 

Nn=a(1+r)n−m[(1+r)n−1+(1+r)n−2+...+1]=a(1+r)n−m(1+r)n−1r.

Sau n tháng anh Nam trả hết nợ: Nn=a(1+r)n−m(1+r)n−1r=0

⇔1000(1+0,005)n−30(1+0,005)n−10,005=0⇔n=36,55

Vậy 37 tháng thì anh Nam trả hết nợ.

Hi Anna,

I’m glad you enjoyed the book. I’d love to come to your house on Sunday and try out some new recipes together. I’ll bring fresh mangoes from my garden for the dish. Looking forward to it!

See you,

Linda